Геометрическая иллюстрация неопределенного интеграла

 

геометрически представляет множество интегральных кривых вида , отличающихся друг от друга постоянным слагаемым с (рис. 1).

Рис. 1

 

Задача 1. В следующих равенствах заполнить пропущенные места по соображению:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Найти затем интегралы и т.д.

Построить интегральные кривые для пунктов 1 и 2.

Решение. Рассмотрим выполнение 1 пункта:

;

.

Замечание. Интеграл находится по формуле (2) (Таблицы интегралов - Т.И.) как интеграл степенной функции. Зная, что , т.е. в данном случае .

Интегральные кривые: , где ;… (рис. 2).

Рис. 2	,
,
,
,

Остальные пункты задачи выполняются аналогично.

Задача 2. Найти интеграл: .

Решение. 1. Используя свойство (5), распишем интеграл алгебраической суммы нескольких слагаемых в виде суммы интегралов от каждого слагаемого:

.

2. По свойству (4) во втором слагаемом постоянный коэффициент 3 вынесем за знак интеграла. Используем формулы (2), (3) (Т.И.).

.

 

Задача 3. Найти интеграл:

.

Замечание. Если подынтегральные функции содержат выражения вида , то данные интегралы находятся по формуле (2) (Т.И.) как интегралы от степенных функций. Прежде чем применить формулу (2), необходимо произвести преобразования подынтегральных функций. Для этого воспользуемся следующими свойствами:

 

	(1)	Пример:	по свойству (1)
	(2)		по свойству (2)
	(3)

Решение.

.

 

Задача 4. Найти интегралы:

1) ;

2) .

Указание. Выполнить по образцу задачи 3, используя свойства (5), (4) и формулы (1), (2), (3) (Т.И.).

 

Задача 5. Найти интеграл: .

Замечание. Для нахождения интеграла следует разделить многочлен, стоящий в числителе, на знаменатель. Далее, произведя соответствующие преобразования (см. задачу 3), воспользоваться свойствами (4), (5) и формулой (2) (Т.И.).

Решение.

.

 

Задача 6. Найти интеграл (выполнить по образцу задачи 5):

.

 

Задача 7. Найти интегралы:

1) ;

2) .

Указание. В первом интеграле числитель возвести в квадрат, полученный многочлен разделить на знаменатель и после этого проинтегрировать. Во втором интеграле открыть скобки, сделать преобразования, после чего выполнить интегрирование.

 

Задача 8. Найти интеграл: .

Решение. Иногда, с целью сведения подынтегральной функции к табличному интегралу, используют так называемый искусственный прием (прибавляют и вычитают одно и то же число в числителе с целью создания слагаемого, кратного знаменателю).

В данном случае в числителе прибавляют и вычитают 1.

выражение не изменилось, но теперь можно преобразовать подынтегральную функцию:

.

Теперь проинтегрируем полученное выражение:

.

 

Задание для самостоятельной работы

 

Задача 9. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

 

Задача 10. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) .

Указание. Для решения примеров 1 и 2 использовать тригонометрические формулы:

.

Пример 3 решить по образцу задачи 8.

 

Задача 11. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Указание. Для решения примеров 5, 6, 7 используются формулы (12), (13), (14) (Т.И.).