Занятие №3. Несобственные интегралы

 

 

Цель занятия: усвоить правила вычисления несобственных интегралов на уровне знания и умения решать типовые задачи по теме.

 

 

Краткая информация о новых учебных элементах

 

1. Несобственные интегралы первого рода

 

Несобственные интегралы с бесконечными пределами (или I рода) (рис. 2) определяются следующим образом:

(1)

Рис. 2

 

Несобственные интегралы I рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях равенств (1). Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы называются расходящимися.

Для установления сходимости интегралов (1) можно воспользоваться следующими признаками:

1. Если на промежутке непрерывные функции и удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла («признак сравнения»).

2. Если при и существует конечный предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

 

2. Несобственные интегралы второго рода

 

Если функция непрерывна в промежутке и имеет разрыв II-го рода при , то несобственный интеграл от неограниченной функции (II рода) определяется следующим образом:

. (2)

Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке , то полагают

. (3)

Если функция терпит разрыв II-го рода во внутренней точке (рис. 3), то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

. (4)

 

Рис.3

 

Если пределы, стоящие в правой части равенств (2), (3), (4) существуют, то несобственные интегралы II рода называются сходящимися; в противном случае – расходящимися.

Для установления сходимости интегралов (2)-(4) можно воспользоваться следующими признаками:

1. Если на промежутке непрерывные функции и при терпят разрыв II-го рода и удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла («признак сравнения»).

2. Пусть функции и непрерывны на промежутке и в точке терпят разрыв II рода. Если существует конечный предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если функция , знакопеременная на отрезке , имеет разрыв в точке и несобственный интеграл сходится, то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

 

Задача 1. Дан интеграл . Установить, при каких значениях этот интеграл сходится, а при каких – расходится.

Решение. Предположим, что . Тогда

Следовательно, если , то

,

т.е. данный интеграл сходится.

Если , то

,

т.е. данный интеграл расходится.

Если , то

,

т.е. данный интеграл расходится.

 

Задача 2. Исследовать сходимость несобственного интеграла .

Решение. По определению несобственного интеграла I рода

,

интеграл расходится, т.к. и не существуют.

 

Задача 3. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Здесь при , при этом . Но интеграл расходится, так как

.

Поэтому, согласно признаку сравнения, интеграл расходится.

 

Задача 4. Вычислить несобственный интеграл

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Эта функция является четной. Следовательно,

.

Тогда имеем:

.

Интеграл сходится. Следовательно, исходный интеграл также сходится и равен .

 

Задача 5. Найти значение несобственных интегралов или установить их расходимость (решить задачи по образцу):

;

2) ;

3) ;

4) .

 

Задача 6. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке . Следовательно,

,

т.е. данный интеграл сходится.

 

Задача 7. Исследовать несобственный интеграл на сходимость

.

Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке . Очевидно, что при

.

Так как несобственный интеграл

,

т.е. сходится, то сходится и исходный интеграл.

 

Задача 8. Исследовать несобственные интегралы на сходимость (по образцу задач 6,7):

1) ;

2) ;

3) .

 

Задание для самостоятельной работы

 

Исследовать несобственные интегралы на сходимость:

Задача 9. .

 

Задача 10. .

 

Задача 11. .

 

Задача 12. .

 

Задача 13. .

 

Задача 14. .

 

 

Занятие №4. Геометрическое приложение определенного интеграла

 

 

Цель занятия: закрепить правила вычисления определенных интегралов на уровне знания и умения решать типовые задачи по теме; уметь применять определенные интегралы к решению прикладных задач геометрии.