ТОП 10:

Занятие №2. Метод замены переменных



 

 

Цель занятия: усвоить метод подстановки, закрепить знание таблицы основных интегралов.

 

Учебные вопросы

 

1. Дифференциал функции, его свойства (повторение).

2. Интегрирование с помощью подстановки.

 

Краткая информация о новых учебных элементах

 

Во многих случаях для вычисления интеграла требуется введение новой переменной интегрирования, которое позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Формула замены переменной имеет вид:

.

 

Задание для студентов

 

Задача 1. Решить устно (повторение). Найти дифференциал по формулам:

1. ;

2. ;

3. .

 

Задача 2. Найти интегралы с помощью замены переменной.

;

;

;

.

Решение. Вспомним таблицу:

Следовательно, для того, чтобы найти интеграл от функции сложного аргумента, необходимо, чтобы подынтегральное выражение содержало производную аргумента.

Поэтому данные интегралы в задаче 2 непосредственным интегрированием брать нельзя. Для решения данных интегралов используют замену:

а) обозначить аргумент функции новой переменной и, где и – есть функция от х;

б) найти ; (*)

в) из равенства (*) выразить dx;

г) осуществить замену под знаком интеграла, сокращая в числителе и знаменателе функцию от х и вынося const за знак интеграла;

д) полученный интеграл взять по таблице;

е) вернуться к прежней переменной х.

;

;

.

;

.

Замечание. В данном примере целесообразнее выразить из .

;

.

 

Задача 3. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

Задача 4. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) .

 

Задача 5. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) .

 

Задача 6. Найти интегралы:

1) ;

2) .

 

Проанализируйте результаты интегрирования и дайте ответ на вопрос: чему равен ?

Запомнить:

Т.е. , где первообразная для функции f.

 

Задача 7. Найти интеграл методом подстановки: .

Решение.

.

 

Задача 8. По образцу задачи 7 найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) .

 

Задача 9. Решить методом подстановки: .

Решение.

.

 

Задача 10. Найти интегралы (по образцу задачи 9):

1) ;

2) .

 

Проанализируйте задачи 9, 10 и сделайте вывод: при каких условиях интеграл, содержащий , является табличным?

Задания для нахождения первообразной (устно)

 

1. ; 14. ; 27. ;
2. ; 15. ; 28. ;
3. ; 16. ; 29. ;
4. ; 17. ; 30. ;
5. ; 18. ; 31. ;
6. ; 19. ; 32. ;
7. ; 20. ; 33. ;
8. ; 21. ; 34. ;
9. ; 22. ; 35. ;
10. ; 23. ; 36. ;
11. ; 24. ; 37. ;
12. ; 25. ; 38. ;
13. ; 26. ; 39. .

 

Задание для самостоятельной работы

 

Задача 11. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

 

Задача 12. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Занятие №3. Метод интегрирования по частям

 

 

Цель занятия: усвоить интегрирование по частям на уровне знаний и умений решать типовые задачи, закрепить метод интегрирования с помощью замены переменной.

 

Учебные вопросы

 

1. Замена переменной в неопределенном интеграле.

2. Интегрирование по частям.

 

Ход занятия

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.207.152.62 (0.012 с.)