Занятие №2. Метод замены переменных

 

 

Цель занятия: усвоить метод подстановки, закрепить знание таблицы основных интегралов.

 

Учебные вопросы

 

1. Дифференциал функции, его свойства (повторение).

2. Интегрирование с помощью подстановки.

 

Краткая информация о новых учебных элементах

 

Во многих случаях для вычисления интеграла требуется введение новой переменной интегрирования, которое позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Формула замены переменной имеет вид:

.

 

Задание для студентов

 

Задача 1. Решить устно (повторение). Найти дифференциал по формулам:

1. ;

2. ;

3. .

 

Задача 2. Найти интегралы с помощью замены переменной.

;

;

;

.

Решение. Вспомним таблицу:

Следовательно, для того, чтобы найти интеграл от функции сложного аргумента, необходимо, чтобы подынтегральное выражение содержало производную аргумента.

Поэтому данные интегралы в задаче 2 непосредственным интегрированием брать нельзя. Для решения данных интегралов используют замену:

а) обозначить аргумент функции новой переменной и, где и – есть функция от х;

б) найти ; (*)

в) из равенства (*) выразить dx;

г) осуществить замену под знаком интеграла, сокращая в числителе и знаменателе функцию от х и вынося const за знак интеграла;

д) полученный интеграл взять по таблице;

е) вернуться к прежней переменной х.

;

;

.

;

.

Замечание. В данном примере целесообразнее выразить из .

;

.

 

Задача 3. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

Задача 4. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) .

 

Задача 5. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) .

 

Задача 6. Найти интегралы:

1) ;

2) .

 

Проанализируйте результаты интегрирования и дайте ответ на вопрос: чему равен ?

Запомнить:

Т.е. , где первообразная для функции f.

 

Задача 7. Найти интеграл методом подстановки: .

Решение.

.

 

Задача 8. По образцу задачи 7 найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) .

 

Задача 9. Решить методом подстановки: .

Решение.

.

 

Задача 10. Найти интегралы (по образцу задачи 9):

1) ;

2) .

 

Проанализируйте задачи 9, 10 и сделайте вывод: при каких условиях интеграл, содержащий , является табличным?

Задания для нахождения первообразной (устно)

 

1.	;	14.	;	27.	;
2.	;	15.	;	28.	;
3.	;	16.	;	29.	;
4.	;	17.	;	30.	;
5.	;	18.	;	31.	;
6.	;	19.	;	32.	;
7.	;	20.	;	33.	;
8.	;	21.	;	34.	;
9.	;	22.	;	35.	;
10.	;	23.	;	36.	;
11.	;	24.	;	37.	;
12.	;	25.	;	38.	;
13.	;	26.	;	39.	.

 

Задание для самостоятельной работы

 

Задача 11. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

 

Задача 12. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Занятие №3. Метод интегрирования по частям

 

 

Цель занятия: усвоить интегрирование по частям на уровне знаний и умений решать типовые задачи, закрепить метод интегрирования с помощью замены переменной.

 

Учебные вопросы

 

1. Замена переменной в неопределенном интеграле.

2. Интегрирование по частям.

 

Ход занятия