Алгоритм нахождения интеграла методом неопределенных коэффициентов

 

1) Проверить, правильная ли дробь. Если дробь неправильная, то необходимо представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.

2) Знаменатель правильной дроби разложим на простейшие множители вида и .

3) Правильную рациональную дробь разложим на простейшие дроби:

, (1)

где неопределенные коэффициенты, которые нужно вычислить.

4) Для вычисления неопределенных коэффициентов приводим равенство (1) к общему знаменателю, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества, и решаем систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Тем самым интегрирование рациональной дроби сводим к интегрированию суммы простейших рациональных дробей.

 

Задача 1. Определить, правильная ли дробь:

Задача 2. Представить в виде суммы многочлена и правильной дроби неправильную дробь:

Решение. Дробь неправильная, т.к. степень числителя больше степени знаменателя.

Разделим числитель на знаменатель по правилу деления многочленов.

Таким образом:

.

 

Задача 3. Найти интеграл: .

Решение. 1. Дробь правильная, т.к. степень числителя меньше степени знаменателя.

2. Разложим знаменатель на простейшие множители:

;

два действительных корня.

.

3. Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух простейших дробей:

.

4. Найдем коэффициенты А и В. Для этого приведем дроби к общему знаменателю и воспользуемся правилом равенства дробей:

;

Приравниваем коэффициенты при х и свободные члены. Составим систему уравнений и найдем А и В:

.

Решив систему, получили . Таким образом:

.

Тогда:

.

 

Задача 4. Найти интеграл: .

Решение. 1. Дробь правильная. Знаменатель разложен на множители.

2. Правильную рациональную дробь разложим на простейшие дроби по формуле (1):

.

3. Найдем коэффициенты А, В, С. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

.

По правилу равенства дробей:

Приведем подобные члены в правой части тождества:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х и свободные члены в левой и правой части. Так как в левой части нет , то его коэффициент равен 0 .

.

Таким образом, решив систему, получим:

.

Тогда

;

.

 

Задача 5. Найти интеграл методом неопределенных коэффициентов:

.

Решение. 1. Дробь правильная.

2. Разложим знаменатель на множители:

.

3. Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух простейших дробей:

.

4. Найдем коэффициенты А, В, С:

Приравниваем коэффициенты при и свободные члены. Так как в левой части нет , то их коэффициенты равны 0.

.

Таким образом:

.

Тогда

.

 

Задача 6. Найти интегралы методом неопределенных коэффициентов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

 

Задание для самостоятельной работы

 

Найти интегралы:

Задача 7. .

 

Задача 8. .

 

Задача 9. .

 

Задача 10. .

Указание. Подынтегральную функцию представить в виде суммы многочлена и правильной дроби (см. задачу 2). Правильную дробь разложить на множители, используя метод неопределенных коэффициентов, проинтегрировать.

 

Задача 11. Найти интеграл: .

Указание. а) знаменатель разложить на множители (разность кубов);

б) используя метод неопределенных коэффициентов, получить два интеграла 1 и 3 типов;

в) проинтегрировать по алгоритму.

 

Задача 12. Найти интеграл: .

 

Найти интегралы, используя метод неопределенных коэффициентов:

Задача 13. .

 

Задача 14. .

 

Задача 15. .