Занятие №1. Задачи, приводящие к понятию производной

 

 

Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне знаний и умения применять при решении типовых задач.

 

Учебные вопросы

1. Решение задач физики, механики.

2. Решение задач геометрии.

 

Задача 1. Тело движется по прямой Ох по закону . Определить скорость движения и ускорение.

Решение. Согласно физическому смыслу производной, скорость ; ускорение . Тогда .

.

 

Задача 2. Решить задачу по образцу задачи 1.

Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение движения в момент времени .

 

Задача 3. Задача из курса «Теоретическая механика». Угол поворота диска, вращающегося вокруг неподвижной оси, изменяется согласно уравнению: ( постоянная величина, угол поворота тела в радианах, время в секундах). Определить ускорение (угловое) и угловую скорость диска через 4 сек. после начала движения, если за первые 2 сек. он сделал оборотов.

Решение. Вращение диска согласно заданному уравнению происходит в одном и том же направлении. Поэтому можно считать

, т.к. и .

Имеем .

Таким образом .

Используя формулы угловой скорости и углового ускорения , получим:

.

В момент времени сек. имеем:

 

Задача 4. Написать уравнение касательной и нормали к параболе в точке пересечения ее с осью Ох (при ) и построить параболу, касательную и нормаль.

Решение. Уравнение касательной к графику в т. М имеет вид , а уравнение нормали .

Для составления этих уравнений необходимо знать:

1. координаты точки касания .

2. угловой коэффициент касательной к данной кривой, который определяется по формуле: .

Итак, исходя из условия задачи, найдем координаты точки касания М : , получим

.

Найдем : при и

при .

Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

.

Угловой коэффициент нормали будет .

Рис. 2

Тогда уравнение нормали, а также .

Построим данные линии (рис. 2).

Задача 5. Решить задачу по образцу задачи 4.

Написать уравнение касательной к кривой в точке . Построить касательную и кривую.

Задача 6. Под каким углом пересекаются кривые: и ?

Решение. Геометрическим образом уравнений и являются параболы. Как видно из рисунка 3 точек пересечения две. Их координаты можно найти из системы уравнений , решая которую, получим . Под углом пересечения двух кривых понимается острый угол, образованный касательными к соответствующим кривым в точке их пересечения.

Острый угол между касательными может быть вычислен по формуле:

, (1)

где и угловые коэффициенты касательных.

1. Найдем угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в т. :

, т.е. .

Рис. 3

2. Найдем угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой :

т.е. .

Подставляя значения в формулу (1), получим:

.

Поскольку обе кривые симметричны оси Оу, то они в точках пересекаются под равными углами.

 

Задание для самостоятельной работы

 

Задача 7. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой в точке , определите угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох.

 

Задача 8. Под каким углом пересекаются кривые ? Сделать чертеж.

 

Задача 9. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением ( в секундах, в метрах). Определить скорость движения в конце второй секунды.

 

Задача 10. По параболе движется точка так, что ее абсцисса изменяется в зависимости от времени t по закону ( в секундах, в метрах). Какова скорость изменения ординаты движения в точке ?

 

Задача 11. Написать уравнение касательных к гиперболе в точках и найти угол между касательными. Построить кривую и касательные.

 

Задача 12. Найти производные от функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .