Вычисление значений сложной функции

Введение

Предлагаемое пособие охватывает начальный курс математического анализа.

В пособии излагаются определения основных учебных элементов, свойства пределов, производной, интеграла (определенного и неопределенного) функции одной переменной, а также их геометрический и физический смысл. Предполагается, что более глубокое изучение рассматриваемых тем студенты проводят по лекциям и по учебным пособиям самостоятельно.

В пособии разобраны решения большого количества примеров, что позволит студентам самостоятельно провести анализ и выполнение остальных задач.

Данное пособие предназначено для студентов технических специальностей и преподавателей, ведущих практические занятия у студентов технических специальностей.

ТЕМА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

 

Занятие №1. Пределы

 

 

Цель занятия: усвоить учебные элементы на уровне знаний. Закрепить навыки вычисления значения функции в точке, а также навыки вычисления пределов. Учитывая, что учебные элементы этого занятия знакомы студентам из средней школы, уделить особое внимание структуре сложной функции.

 

Краткие сведения из теории

 

Определение 1. Функция у от х, заданная цепью равенств , где , называется сложной или функцией от функции.

 

Определение 2. Говорят, что , если для любого такое, что при .

 

Определение 3. Если , то функция называется бесконечно малой при . Заметим, что если - бесконечно малая, то - бесконечно большая величина.

 

ТЕОРЕМА 1. (первый замечательный предел):

.

 

Основные эквивалентности при

 

1) где п и натуральные;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , где ;

6)

7)

8)

9)

10)

 

Задание для студентов

 

Исходя из этих формул, приближенно вычислить:

.

Сравнить полученные значения с табличными данными.

 

Задание. Даны функции:

.

Вычислить:

;

.

 

Основные теоремы о пределах

 

ТЕОРЕМА 2. Если предел функции существует при , то он единственный.

 

ТЕОРЕМА 3. .

 

ТЕОРЕМА 4. .

 

Следствие 1. .

 

Следствие 2. .

 

ТЕОРЕМА 5. .

 

1. Раскрытие неопределенности вида

 

Для решения задач данного типа надо числитель и знаменатель дроби разделить на степень с наибольшим показателем в знаменателе.

 

Задача 1. .

Делим числитель и знаменатель на степень . Величины и являются бесконечно малыми при , поэтому и .

Применяя теорему о пределе частного (она применима, так как предел знаменателя равен 1, т.е. отличен от 0), получаем окончательный ответ.

 

Задача 2. Вычислить:

.

 

Задача 3. Вычислить:

.

Решить самостоятельно (вычислить пределы):

Задача 4. .

Задача 5. .

Задача 6. .

Задача 7. .

Задача 8. .

2. Раскрытие неопределенности вида

 

Задача 9. .

Вычислим корни трехчлена : и разложим его на множители по формуле:

;

.

Сократим дробь и вычислим предел, подставляя вместо х число 2.

 

Задача 10. Решается аналогично. Вычислить: .

 

Задача 11. Вычислить .

Заменим , тогда и

.

 

Задача 12. .

 

Задача 13. .

 

Задача 14. .

 

Задача 15. .

 

Ход занятия

Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:

Задача 1. .

Решение. Заданная функция представляет собой многочлен. Применяя формулы (1, 2, 3, 6) из таблицы, найдем :

 

Задача 2. .

Решение. Обозначим , тогда . Применяя правило дифференцирования сложной функции и формулу , имеем:

 

Задача 3. .

Решение. Запишем данную функцию в виде . Обозначим: , тогда ,

Задание для самостоятельной работы

 

Задача 4. .

 

Задача 5. .

 

Задача 6. .

Решение. Полагая и применяя формулы (7, 9), будем иметь:

.

 

Задача 7. .

 

Задача 8. .

 

Задача 9. .

 

Задача 10. .

 

Задача 11. .

 

Разобрать решение задач:

Задача 12. .

Решение. Производную функций данного типа можно найти двумя способами:

1) применяем формулу . Здесь роль v выполняет .

.

2) перепишем заданную функцию в виде: . Применяем формулу , где . Имеем:

.

 

Задача 13. .

Решение. Пользуемся формулой . Обозначим ; .

.

Указание. .

 

Задача 14. .

Решение. Воспользуемся формулой , где , , тогда

.

Задача 15. Решить самостоятельно: .

Указание. Производную данной функции можно найти, пользуясь формулами или .

 

Найти производные от функций:

Задача 16. .

 

Задача 17. .

 

Задача 18. .

 

Задача 19. .

 

Задача 20. .

 

Задача 21. .

 

Задача 22. .

 

Задача 23. .

 

Задача 24. .

 

Задача 25. .

 

Задача 26. .

 

Задача 27. .

 

 

Ход занятия

 

Применяя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:

Задача 1. .

 

Задача 2. .

Решение. Обозначим , тогда . Воспользуемся формулой .

.

 

Задача 3. .

 

Задача 4. .

 

Задача 5. .

Решение. Обозначим , тогда . Воспользуемся формулой .

.

Задача 6. .

Решение. Обозначим , тогда . Воспользуемся формулой .

.

 

Задача 7. .

 

Занятие №6. Подготовка к контрольной работе по теме 2

 

 

Цель занятия: закрепить знание учебных элементов и навыки решения типовых задач по теме.

 

Учебные вопросы

 

1. Производная сложной функции.

2. Производная функции, заданной параметрически.

3. Вычисление значений производной в точке.

4. Дифференциал функции.

5. Геометрические и механические приложения производной.

 

Пользуясь таблицей производных и правилом дифференцирования сложной функции, найти производные функций, разобрать решения следующих задач:

Задача 1. .

Решение. Воспользуемся формулой , полагая , . Имеем:

.

 

Задача 2. .

Решение.

.

 

Задача 3. .

Задача 4. .

 

Задача 5. Разобрать решение задачи: .

Решение. Полагая имеем .

Воспользуемся формулой :

.

Задача 6. Решить самостоятельно: .

 

Задача 7. Разобрать решение задачи: .

Решение. Воспользуемся формулой , полагая . Имеем:

.

 

Задача 8. Решить самостоятельно: .

 

Задача 9. Разобрать решение задачи. Найти , если .

Решение. Так как , найдем

.

Имеем:

.

 

Задача 10. Решить самостоятельно: . Найти .

Задача 11. Разобрать решение задачи: . Найти .

Решение. Найдем:

.

.

 

Задача 12. Решить самостоятельно: . Найти .

 

Задача 13. Разобрать решение задачи. Найти .

Решение. Воспользуемся формулой дифференциала функции

,

где .

.

 

Решить самостоятельно:

Задача 14. Найти .

 

Задача 15. Найти .

 

Задача 16. Закон движения точки по прямой задан формулой:

.

Определить скорость движения в конце второй минуты.

 

Задача 17. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Решение. Найдем , следовательно, угловой коэффициент касательной будет:

.

Тогда уравнение касательной или .

Уравнение нормали имеет вид:

или .

Задание для самостоятельной работы

 

Найти производные от функций:

Задача 18. .

 

Задача 19. .

 

Задача 20. .

 

Задача 21. .

 

Задача 22. .

 

Задача 23. .

 

Задача 24. .

 

Задача 25. .

 

Найти дифференциалы функций:

Задача 26. .

 

Задача 27. .

 

Задача 28. .

 

Задача 29. Найти , если .

 

Задача 30. Найти , если .

 

Задача 31. Найти , если .

 

Задача 32. . Найти .

 

Найти производные функций:

Задача 33. .

 

Задача 34. .

 

Задача 35. .

 

Задача 36. . Найти .

 

Задача 37. Какой угол образует с осью Ох касательная к кривой , проведенной в точке с абсциссой ?

 

 

ТЕМА 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

 

Цель занятия: изучение математического аппарата комплексных чисел, необходимого для глубокого усвоения общенаучных, общеинженерных дисциплин, решения прикладных задач с применением комплексных чисел, воспитания навыков самостоятельной деятельности, целеустремленности и трудолюбия в достижении поставленной цели.

 

Введение

 

 

В теме «Неопределенный интеграл» рассматривается задача, обратная задаче о дифференцировании функций.

Задача состоит в следующем: дана функция , являющаяся производной некоторой функции ; требуется найти функцию .

К такой математической задаче приводят многие физические, химические и другие задачи, например, задача об отыскании закона равномерного движения материальной точки вдоль прямой по заданной скорости, задача о нахождении закона химической реакции по известной её скорости.

Особое значение эта тема имеет при решении дифференциальных уравнений, описывающих различные физические и механические процессы.

Для успешного усвоения навыков интегрирования надо, прежде всего, выучить наизусть таблицу интегралов и свойства интегралов.

 

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

 

В этой таблице использовано свойство инвариантности формы полного дифференциала , откуда

.

	(1)
при	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
	(6)
	(7)
	(8)
	(9)
	(10)
	(11)
	(12)
	(13)
	(14)
	(15)
	(16)
	(17)
	(18)
	(19)

 

При использовании формул этой таблицы для преобразования подынтегрального выражения к виду применяются простейшие преобразования дифференциалов:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Например,

.

Используя преобразования дифференциала можно дополнить свойства неопределенного интеграла:

Если то а) ;

б) ;

в) .

 

 

Ход занятия

 

Ход занятия

 

Задача 3.

 

Задача 4.

 

Задача 5.

 

Задача 6. Выбрать метод интегрирования и найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Задача 7. Найти интеграл: .

 

Задача 8. Найти интеграл: .

 

Задача 9. Найти интеграл: .

 

 

Занятие №10. Подготовка к контрольной работе

 

 

Цель занятия: закрепить знания и умения, полученные при изучении темы «Неопределенный интеграл».

 

Учебные вопросы

 

1. Метод интегрирования:

а) по частям;

б) замена переменной;

в) метод неопределенных коэффициентов;

г) табличное интегрирование.

 

Ход занятия

Задания для студентов на занятии и для самостоятельной работы

 

Задача 1. Выбрать метод интегрирования и найти интегралы:

 

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) ;
11) ;	12) ;
13) ;	14) ;
15) ;	16) ;
17) ;	18) ;
19) ;	20) ;
21) ;	22) ;
23) ;	24) ;
25) ;	26) ;
27) ;	28) ;
29) .

 

 

Краткие сведения из теории

 

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем произвольным образом этот отрезок точками на п частичных отрезов длиной . Выберем в каждом из них точку (рис. 1).

 

Определение 1. Сумма вида

называется п-й интегральной суммой функции на отрезке .

Рис. 1

 

Геометрически сумма представляет собой алгебраическую сумму площадей прямоугольников, заштрихованных на рис. 1, в основании которых лежат частичные отрезки , а высоты равны .

 

Определение 2. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы , найденный при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю. Определенный интеграл обозначается , т.е. по определению

, (1)

 

где называется подынтегральной функцией,

подынтегральным выражением,

отрезком интегрирования,

а и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,

х – переменной интегрирования.

 

ТЕОРЕМА 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на , т.е. предел интегральной суммы (1) существует и не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и выбора на них точек .

 

ТЕОРЕМА 2. Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

 

Краткие сведения из теории

 

Пусть функция непрерывна на отрезке , функция непрерывна вместе со своей производной и монотонна на отрезке , и сложная функция непрерывна на . Тогда справедлива формула замены переменной для определенного интеграла:

. (1)

При использовании этой формулы необходимо помнить:

1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2) часто вместо подстановки применяют подстановку ;

3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

 

Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то имеет место формула интегрирования по частям:

. (2)

 

Задача 1. Вычислить: .

Решение. Сделаем замену переменной по формуле . Тогда , . При получим , а при . Все перечисленные выше условия, при которых верна формула (1), выполнены. Следовательно,

.

 

Задача 2. Вычислить: .

Решение. Положим . Тогда . Следовательно,

.

 

Решить задачи по образцу:

Задача 3. .

 

Задача 4. .

 

При помощи формулы интегрирования по частям вычислить интегралы:

Задача 5. а) ; б) .

Решение. а) .

.

 

б) .

.

 

Решить задачи по образцу:

Задача 6. .

 

Задача 7. .

 

Задание для самостоятельной работы

 

Вычислить следующие интегралы:

Задача 8. .

 

Задача 9. .

Задача 10. .

 

Задача 11. .

 

Задача 12. .

 

Задача 13. .

 

Задача 14. .

 

Задача 15. .

 

Задача 16. .

 

 

Рис.3

 

Если пределы, стоящие в правой части равенств (2), (3), (4) существуют, то несобственные интегралы II рода называются сходящимися; в противном случае – расходящимися.

Для установления сходимости интегралов (2)-(4) можно воспользоваться следующими признаками:

1. Если на промежутке непрерывные функции и