Векторное пространство. Базис.

Векторным пространством называется любое множество векторов, для элементов которого

а) определена операция сложения (т.е. для каждой пары векторов и определен третий вектор , являющийся их суммой: = + );

b) определена операция умножения вектора на действительное число (т.е. для каждого вектора и действительного числа определен вектор ;

c) эти операции обладают установленными в пункте Линейные операции над векторами свойствами:

1.Для любых векторов и (коммутативность);

2. Для любых векторов , и (ассоциативность);

3. Для любого вектора ;

4. Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что

.

5. Для любого вектора (ассоциативность);

6. Для любого вектора (дистрибутивность относительно суммы скаляров);

7. Для любых векторов и (дистрибутивность относительно суммы векторов);

8. Для любого вектора ;

 

Примеры векторных пространств:

V¹ – множество векторов, расположенных на прямой;

V² – множество векторов, расположенных на плоскости;

V³ – множество векторов, расположенных в пространстве.

Базисом векторного пространства называется линейно независимая упорядоченная совокупность векторов такая, что любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов этой системы.

Размерностью векторного пространства называется количество векторов в любом его базисе.

Замечание. Базисом пространства V¹ векторов, расположенных на прямой, является любой ненулевой вектор этого пространства. Размерность пространства V¹ равна 1.

Базисом пространства V² векторов, расположенных на плоскости, является любая пара некомпланарных векторов этого пространства. Размерность пространства V² равна 2.

Базисом пространства V³ векторов, расположенных в пространстве, является любая тройка некомпланарных векторов. Размерность пространства V³ равна 3.

Пусть - базис пространства V³. Представление геометрического вектора в виде линейной комбинации векторов базиса

называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются координатами вектора в базисе .

Теорема. (О разложении вектора по базису). Всякий вектор может быть разложен по некоторому базису векторного пространства единственным образом.

Доказательство:

От противного. Рассмотрим разложение некоторого вектора по произвольному базису не единственно:

;

.

Вычитая равенства, получим .

Из определения 1.5.2 вытекает линейная независимость векторов .
Следовательно, лишь тривиальная их линейная комбинация равна нулевому вектору, откуда , что и требовалось доказать.

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что координаты данного вектора в заданном базисе определяются однозначно.

Теорема. (Линейные операции с векторами в координатной форме). При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это же число.

Доказательство:

1. Докажем первую часть теоремы, касающуюся сложения векторов.

Пусть разложения векторов и в базисе имеют вид:

; .

Тогда

.

2. Аналогично получим

.

Следствие. Критерий коллинеарности векторов. Для того, чтобы два геометрических вектора были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты в некотором базисе были пропорциональными.

Базис векторного пространства, состоящий из попарно перпендикулярных векторов единичной длины, называется ортонормированным.

Замечание. Ортонормированный базис в пространстве V² обычно обозначается , в пространстве V³ - .