Тема: Системы линейных алгебраических уравнений 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Тема: Системы линейных алгебраических уравнений



Цель: рассмотреть основные понятия и способы решения системы линейных уравнений, разобрать примеры.

Ключевые слова: неоднородная система, однородная система, совместная система, определенная система, решение системы, равносильные системы, метод Гаусса, формулы Крамера, матричный метод.

Вопросы:

1. Однородные и неоднородные системы уравнений.

2. Метод Гаусса.

3. Формулы Крамера.

4. Матричный метод.

5. Системы линейных алгебраических уравнений общего вида.

 

Однородные и неоднородные системы уравнений.

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений

Система состоит из m уравнений с n неизвестными. Отметим, что в общем случае m ¹ n.

Коротко, систему можно записать в матричном виде AX = B, где A = (аij) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы, которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,..., xn)T, B = (b1, b2,..., bm)T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных xj и из свободных членов bi.

Матрица

`A = ,

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

 

Решением системы линейных алгебраический уравнений называется набор чисел , который после подстановки в систему обращает каждое уравнение в тождество.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если решений больше одного.

В дальнейшем будет показано, что если система линейных алгебраических уравнений имеет более одного решения, то таких решений бесконечное множество.

Система называется однородной, если b1 = b2 =... = bn = 0. Отметим, что однородная система всегда имеет тривиальное (нулевое) решение, поэтому для однородных систем важным вопросом является нахождение ненулевых решений.

Две системы линейных алгебраических уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения одной системы являются решениями другой системы, и наоборот.

Равносильные системы получаются с помощью следующих эквивалентных преобразований:

1. Умножение любого уравнения системы на число, отличное от нуля.

2. Умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля, и сложение с любым другим уравнением системы.

3. Изменение порядка уравнений системы.

Системы решаются одним из следующих способов:

1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных;

2) по формулам Крамера;

3) матричным методом.

Метод Гаусса.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Теорема Кронекера-Капели. Для того, чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Следствие: Если ранги основной и расширенной матриц линейной системы совпадают с количеством переменных, то система имеет единственное решение.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.

Формулы Крамера.

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0: det A ¹ 0.

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: , где D = det A, а D i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Пример. Решить методом Крамера систему уравнений:

 

x1 + x2 + x3 + x4 = 5,

x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,

2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,

3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.

 

Решение. Главный определитель этой системы

D = = -142 ¹ 0,

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители Di (i = ), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi , столбцом из свободных членов:

D 1 = = - 142, D 2 = = - 284,

D 3 = = - 426, D 4 = = 142.

Отсюда , решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.

Матричный метод.

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором C = A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример. Решить матричным способом систему уравнений

x1 - x2 + x3 = 6,

2x1 + x2 + x3 = 3,

x1 + x2 +2x3 = 5.

Решение. Обозначим

A = , X = (x1, x2, x3)T, B = (6, 3, 5) T.

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением A·X=B.

Поскольку D = det =5 ¹ 0, то матрица A невырожденная и поэтому имеет обратную:

А-1 = 1/D .

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A-1B. В данном случае

A-1 =

и, следовательно,

= .

Выполняя действия над матрицами, получим:

 

x1 = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1,

x2 = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

x3 = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

 

Итак, С = (1, -2, 3)T.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-29; просмотров: 1327; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.167.52.238 (0.043 с.)