С) Неполные уравнения плоскости.

Общее уравнение называется полным, если все коэффициенты его A, B, C, D отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение называется неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений.

1) D = 0; уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат (поскольку координаты начала О удовлетворяют этому уравнению).

2) A = 0; уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox (поскольку нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Ox).

Аналогично уравнение определяет плоскость, параллельную оси Oy, а уравнение – плоскость, параллельную оси Oz.

3) , ; уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oxy (ибо эта плоскость параллельна осям Ox и Oy).

Аналогично уравнение (, ) определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oxz, а уравнение (, ) – плоскость, параллельную координатной плоскости Oyz.

4) , , ; уравнение , или , определяет координатную плоскость Oxy (так как плоскость параллельна координатной плоскости Oxy и проходит через начало координат).

Аналогично уравнение (, , ) определяет координатную плоскость Oхz, а уравнение (, , ) – координатную плоскость Oyz.

d) Уравнение плоскости в отрезках на осях. Рассмотрим полное уравнение. Так как в таком уравнении ни один из коэффициентов A, B, C, D не равен нулю, то его можно переписать в виде

Полагая для краткости

получаем:

- уравнение плоскости в отрезках на осях, так как знаменатели a, b, c есть величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy и Oz соответственно (отрезки отсчи­тываются от начала координат, см. рис. 11). В самом деле, точка пере­сечения плоскости с осью Ox определяется из уравнения этой плоскости при дополнительном условии , . Отсюда находим , и, таким образом, величина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Ox, равна a. Аналогично устанавливается, что отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Oy и Oz, имеют величины, равные соответственно b и c.

e) Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой. Пусть искомая плоскость проходит через три различные точки М ₁ (х ₁; у ₁; z ₁ ), М ₂ (х ₂; у ₂; z ₂ ) и М ₃ (х ₃; у ₃; z ₃ ), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы и не коллинеарны, а поэтому произвольная точка M (x; y; z) лежит в одной плоскости с точками М ₁, М ₂ и М ₃ тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т. е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю.

Используя выражение смешанного произведения трех векторов в координатной форме, получим уравнение искомой плоскости в виде определителя