Системы линейных уравнений общего вида.

Если система оказалась совместной, т. е. матрицы A и`A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности: a) r = n; б) r < n.

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x _r+1, x _r+2,..., x _n, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1r x_r = b₁ - a₁,_r+1 x_r+1 -... - a_1nx_n,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2r x_r = b₂ - a₂,_r+1 x_r+1 -... - a_2nx_n,

..............................

a_r1 x₁ + a_r2 x₂ +... + a_rr x_r = b_r - a_r,_r+1 x_r+1 -... - a_rnx_n.

Ее можно решить относительно x ₁, x ₂,..., x _r, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x ₁, x ₂,..., x _r. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Если система однородна и имеет вид:

a ₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = 0,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = 0,

..................

a_m1 x₁ + a_m1 x₂ +... + a_mn x_n = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно – однородная система заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x ₁ = x₂ =... = x _n = 0. Пусть матрица А системы имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением однородной системы; при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Пример. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

x₁ + x₂ - 2x₃ - x₄ + x₅ =1,

3x₁ - x₂ + x₃ + 4x₄ + 3x₅ =4,

x₁ + 5x₂ - 9x₃ - 8x₄ + x₅ =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и `A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

~ ~ .

Очевидно, что r(A) = r(`A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

x₁ + x₂ - 2x₃ - x₄ + x₅ = 1,

- 4x₂ + 7x₃ + 7x₄ = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x₁ и x₂ отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

x₁ + x₂ = 2x₃ + x₄ - x₅ + 1,

- 4x₂ = - 7x₃ - 7x₄ + 1,

откуда x₂ = 7/4 x₃ + 7/4 x₄ -1/4, x₁ = 1/4 x₃ -3/4 x₄ - x₅ + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x₃, x₄, x₅ конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x₃ = x₄ = x₅ = 0 x₁= 5/4, x₂ = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

Пример. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

2x₁ - x₂ + x₃ + x₄ = 1,

x₁ + 2x₂ - x₃ + 4x₄ = 2,

x₁ + 7x₂ - 4x₃ + 11x₄ = a.

Решение. Данной системе соответствует матрица`А= . Имеем `А ~ ~ , следовательно, исходная система равносильна такой:

x₁ + 2x₂ - x₃ + 4x₄ = 2,

5x₂ - 3x₃ + 7x₄ = a-2,

0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид: x₂ = 3/5 + 3/5x₃ - 7/5x₄, x₁ = 4/5 - 1/5x₃ - 6/5x_4.

Вопросы для самоконтроля:

1. Какая система называется однородной?

2. Какая система называется совместной?

3. Какая система называется определенной?

4. Что называется решением системы?

5. Какие системы называются равносильными?

6. Сформулируйте теоремуКронекера-Капели.

7. Перечислите основные методы решения системы линейных уравнений.

8. Укажите формулы Крамера.

9. В чем заключается матричный метод решения системы линейных уравнений?

Рекомендуемая литература:

1. Михалев, А.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие для студентов учреждений высшего проф. образования. / А.А.Михалев, И.Х.Сабитов –М.: Издательский центр «Академия», 2013 г.- 256 с.

2. Кремер, Н.Ш., Фридман, М.Н. Линейная алгебра [Электронный ресурс]: учебник и практикум / Н.Ш. Кремер, М.Н. Фридман - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Издательство Юрайт, 2015. - URL: http://biblio-online.ru/book/EB3E86F3-26C5-43FD-BA7E-C55EA66646CA