Смешанное произведение трех векторов.

Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор. Смешанное произведение векторов обозначается или .

Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов).

Модуль смешанного произведения векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение положительно, если тройка векторов – правая, и отрицательно, если эта тройка – левая (если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю).

.

Доказательство:

V_пар = . Справа в этом равенстве стоит модуль смешанного произведения. Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса: если тройка – правая, то векторы и расположены в одном полупространстве относительно плоскости векторов и , , ; если тройка – левая, то векторы и расположены в разных полупространствах относительно плоскости векторов и , , ; если компланарны, то высота параллелепипеда равна нулю, и V_пар =0.

 

Следствие. Объем тетраэдра, построенного на трех векторах, равен одной шестой модуля их смешанного произведения

.

 

Теорема. (Свойства смешанного произведения).

1. Если один из трех сомножителей равен нулю-вектору, то их смешанное произведение равно нулю ;

2. Критерий компланарности трех векторов: для того, чтобы три вектора были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю;

3. ;

4. ;

5. ;

Теорема. (Выражение смешанного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе). Смешанное произведение трех векторов в ортонормированном базисе равно определителю, строками которого являются координаты этих векторов данном базисе.

Доказательство:

Пусть векторы , и имеют в ортонормированном базисе разложения

, , .

Тогда

 

Следствие (свойство 2 смешанного произведения): Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, строками которого являются координаты этих векторов в ортонормированном базисе, равен нулю.

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется вектором?

2. Какой вектор называется нулевым?

3. Что называется длиной вектора?

4. Какие векторы называются равными?

5. Что называется ортом вектора?

6. Какие векторы называются ортогональными?

7. Какие операции называются линейными операциями над векторами?

8. Что называется ортогональной проекцией вектора?

9. Когда система векторов называется линейно зависимой или линейно независимой?

10. Что называется векторным пространством?

11. Что называется базисом векторного пространства?

12. Что называется размерностью векторного пространства?

13. Дайте определение скалярного произведения векторов.

14. Дайте определение векторного произведения векторов.

15. Дайте определение смешанного произведения векторов.

Рекомендуемая литература:

1. Михалев, А.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие для студентов учреждений высшего проф. образования. / А.А.Михалев, И.Х.Сабитов –М.: Издательский центр «Академия», 2013 г.- 256 с.

2. Кремер, Н.Ш., Фридман, М.Н. Линейная алгебра [Электронный ресурс]: учебник и практикум / Н.Ш. Кремер, М.Н. Фридман - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Издательство Юрайт, 2015. - URL: http://biblio-online.ru/book/EB3E86F3-26C5-43FD-BA7E-C55EA66646CA