Различные виды уравнения прямой.

а) Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Пусть прямая проходит через точку М ₁(х ₁; у ₁) и образует с осью Ох угол (рис. 4). Возьмем на прямой произвольную точку М (х; у). Если провести прямые и , параллельные осям, то образуется прямоугольный треугольник .

Ясно, что

Отсюда (вспоминая, что = k) получим искомое уравнение

Если бы для той же прямой мы взяли точку М (х; у) не в первом квадранте или рассмотрели бы другую прямую, у которой угол α был бы тупым, то рассуждение, естественно, усложнилось бы. Мы не будем рассматривать всех возникающих здесь возможностей. Отметим лишь, что во всех случаях получится то же уравнение.

b) Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если мы теперь обозначим через «b» постоянную b = y ₁ – kx ₁, то уравнение прямой примет вид

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В нем «b»представляет собой величину отрезка, отсекаемого данной прямой на оси Оу, начиная от начала координат. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти координаты точки пересечения оси Оу и прямой: х = 0, у = b. Величина «b» носит название начальной ординаты прямой. Если b = 0, то получаем уравнение прямой, проходящей через начало координат

с)Уравнение пучка прямых с центром в данной точке. Совокупность лежащих на плоскости прямых, проходящих через некоторую точку этой плоскости, принято называть пучком прямых с центром в данной точке.

Если в уравнении прямой угловой коэффициент k – произвольное число, то это уравнение определяет пучок прямых с центром в точке М ₁(х ₁; у ₁), кроме прямой, перпендикулярной оси Ох и не имеющей углового коэффициента.

d) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть даны две точки М ₁(х ₁; у ₁), М ₂(х ₂; у ₂) и х ₁ ≠ х ₂, у ₁ ≠ у ₂.

Для составления уравнения прямой М ₁ М ₂ запишем уравнение пучка прямых с центром в точке М ₁ в виде равенства Так как точка М ₂(х ₂; у ₂) лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению пучка:

Отсюда находим угловой коэффициент прямой по двум ее точкам:

.

Подставляя найденное значение k в , после очевидного преобразования получим уравнение прямой, проходящей через две данные точки М ₁ и М ₂ в виде

Записывая это же уравнение в форме

нетрудно установить, что если у ₁ = у ₂, то уравнение искомой прямой, параллельной оси Ох, будет

Если х ₂ = х ₁, то прямая параллельна оси Оу и ее уравнение

.

e) Уравнение прямой в отрезках. Найдем уравнение прямой, отсекающей на оси Ох отрезок величины а (а ≠ 0), а на оси Оу – отрезок величины b, b ≠ 0.

Используя , уравнение прямой, проходящей через точки А (а; 0) и В (0; b) (рис. 5), запишем

в виде

или после преобразований

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках на осях. В этом уравнении х и у – текущие координаты, а и b – параметры. Заметим, что это уравнение удобно использовать для геометрического построения прямой.

f) Уравнение прямой в полярных координатах. Зададим на плоскости согласованные декартову и полярную системы координат. Начало О декартовой системы координат поместим в полюсе, а положительную полуось Ох примем за полярную ось.

Пусть дана какая-нибудь прямая, не проходящая через полюс О (рис. 6). Проведем из полюса луч ON,перпендикулярный данной прямой. Пусть α – угол между полярной осью Ох и лучом ON, p – расстояние от полюса О до данной прямой, р = | ON |.

Выведем уравнение данной прямой, считая известными величины α и р. Пусть М (r; j) – произвольная точка данной прямой. Из прямоугольного треугольника ONM имеем:

- уравнение прямой в полярных координатах.

g) Нормальное уравнение прямой. Перепишем уравнение в виде

Отсюда, учитывая зависимость между декартовыми и полярными координатами точки, получим

- нормальное уравнение прямой. Числа р и α, где р – расстояние от начала О до заданной прямой, а α – угол наклона нормали ON к оси абсцисс, являются параметрами уравнения.

h) Общее уравнение прямой. В предыдущих пунктах было показано, что любая прямая на плоскости в заданной декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени относительно переменных x и y. Установим теперь общий факт, что любую прямую без каких-либо ограничений можно задать алгебраическим уравнением первой степени.

Теорема. Каждое уравнение первой степени относительно x и y вида

где А и В – коэффициенты, одновременно не равные нулю, определяет в декартовой прямоугольной системе координат некоторую прямую.

Доказательство. Рассмотрим возможные случаи.

1) А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0. Разделив все члены уравнения на В и определяя из него y, запишем уравнение в виде

.

Обозначая , , получим уравнение . Это уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2) В ≠ 0, С ≠ 0, А = 0. В этом случае уравнение принимает вид , или . Это уравнение прямой, параллельной оси , отсекающей на оси ординат отрезок, величина которого равна , где .

3) А ≠ 0, С ≠ 0, В = 0. Уравнение принимает вид , или . Это уравнение прямой, параллельной оси , отсекающей от оси абсцисс отрезок, величина которого равна , где .

4) А ≠ 0, В ≠ 0, С = 0. Уравнение имеет вид , или , где . Это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

5) А ≠ 0, В = 0, С = 0. Уравнение имеет вид . Это – уравнение оси ординат.

6) В ≠ 0, А = 0, С = 0. Уравнение имеет вид . Это уравнение является уравнением оси абсцисс.

Таким образом, во всех случаях уравнение является уравнением прямой линии. Тем самым теорема доказана.

Уравнение прямой, где А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.