Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Закон пуассона – закон редких событий
Пусть требуется найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность осуществления события очень мала, событие наступит ровно раз. В этом случае ни формула Бернулли, ни асимптотическая формула Лапласа не могут быть практически использованы для решения поставленной задачи. При больших , малых и если выполняется условие , то для вычисления искомой вероятности применяют формулу Пуассона (закон Пуассона): , где . Формула Пуассона широко используется в теории массового обслуживания. Простейший поток событий Определение. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени (в предельном случае, если события следуют через определенные интервалы). Вероятность появления событий простейшего потока за время длительностью определяется формулой Пуассона: , где – интенсивность простейшего потока, или среднее число событий, появляющихся в единицу времени. Примеры решения задач: Задача 1. Из ящика, где было 4 лопнувших и 12 целых пробирок, вынуто наугад 3 пробирки. Какова вероятность того, что две из них целые? Решение: Число способов, которыми можно извлечь пробирки из их общего числа , равно – числу сочетаний из элементов по и равно числу всех возможных элементарных исходов испытания. Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди пробирок ровно целые. целые пробирки можно взять из целых различными способами; при этом пробирок должны быть лопнувшими, взять же лопнувших пробирок из имеющихся можно различными способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов : . Вычисления: , , , . Ответ: вероятность того, что из 3 наудачу взятых пробирок 2 целые равна . Задача 2. Центральная городская аптека закреплена за тремя больницами. Вероятность того, что в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты первой больнице, равна 0,6, второй больнице – 0,2, третьей – 0,4. Какова вероятность того, что в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты: 1) одной больнице? 2) по крайней мере, двум больницам?
Решение: Пусть событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты первой больнице; вероятность этого события по условию равна , вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна ; событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты второй больнице; вероятность этого события по условию равна , вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна ; событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты третьей больнице; вероятность этого события по условию равна , вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна . 1) Событие – аптеке придется отпустить медикаменты одной аптеке – реализуется следующим образом: . Для нахождения вероятности этого события используем теоремы умножения и сложения вероятностей событий: 2) Событие – аптеке придется отпустить лекарство, по крайней мере, двум (т.е. двум или трем) больницам – включает в себя следующие события: . Для нахождения вероятности этого события используем теоремы умножения и сложения вероятностей событий: , или . Ответ: 1) вероятность того, что центральной городской аптеке в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты одной больнице, равна ; 2) вероятность того, что центральной городской аптеке в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты, по крайней мере, двум больницам, равна . Задача 3. В цехе установлено 5 датчиков предельно допустимой концентрации пыли в воздухе, каждый из которых может включать систему сигнализации. Вероятность срабатывания первого датчика равна 0,8, второго – 0,9, третьего – 0,85, четвертого – 0,7, пятого – 0,75. 1) Найти вероятность того, что по достижении предельно допустимой концентрации пыли сигнализация сработает? 2) Сигнализация сработала. Какова вероятность того, что сигнализацию включил третий датчик? Решение: Пусть событие состоит в том, что сигнализация сработала. Это событие может произойти только в случае появления одного из несовместных событий – включение датчиком сигнализации. Вероятности событий по условию одинаковы и равны . События образуют полную группу, т.к. .
Известны условные вероятности события – вероятности срабатывания датчика: , , , , . 1) Вероятность события вычислим по формуле полной вероятности: , или . 3) Событие произошло. Условную вероятность того, что при этом сработал третий датчик, (событие ) найдем по формуле Байеса: , или . Ответ: 1) вероятность того, что по достижении предельно допустимой концентрации пыли сигнализация сработает, равна ; 2) вероятность того, что сигнализацию при этом включил третий датчик, равна . Задача 4. Вероятность заражения желудочно-кишечными заболеваниями при однократном приеме внутрь 250 мл не кипяченой речной воды составляет 0,1. Какова вероятность того, что из группы туристов, насчитывающей 6 человек, заболеет хотя бы один, если все они выпили по 250 мл не кипяченой речной воды? Решение: События – заражение желудочно-кишечными заболеваниями относятся к повторным независимым испытаниям. Вероятность того, что некоторое событие произойдет ровно раз в испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли: . По условию: , , (событие – «хотя бы один» – означает «один и более»), т.е. . Известно, что сумма вероятностей событий, составляющих полную систему, равна 1, т.е. . Для данного случая имеем: или , тогда получаем, что . Вычислим : . Ответ: вероятность того, что из группы туристов, насчитывающей 6 человек, заболеет хотя бы один, равна . Задача 5. Какова вероятность того, что в партии таблеток, насчитывающей 10000 штук, 1) не более 20 окажутся нестандартными, если вероятность того, что отдельная таблетка окажется нестандартной, составляет 0,0012? 2) ровно 12 штук окажутся нестандартными? Решение: События – нестандартная таблетка – относятся к повторным независимым испытаниям. Число испытаний () в данном случае велико, поэтому использование формулы Бернулли для нахождения вероятности приводит к вычислительным трудностям. 1) Для ответа на первый вопрос используем формулу, позволяющую приближённо определять вероятность , с которой происходит событие . По условию: , , , , . Анализ условия показывает, что , значит, для вычисления вероятности используем интегральную теорему Лапласа: , здесь – стандартный интеграл вероятностей (функция Лапласа), , , причем . Таким образом, получаем: . По таблице значений функции находим (Приложение 2), что , тогда вероятность . 2) Для ответа на второй вопрос используем формулу, позволяющую приближённо определять вероятность , с которой происходит событие : , где , (локальная теорема Лапласа). По условию: , , , , , . Вычисляем : . По таблице значений функции находим (Приложение 1), что . Тогда . Ответ: 1) вероятность того, что в партии таблеток из 10000 штук, не более 20 окажутся нестандартными, равна ; 2) вероятность того, что в партии таблеток из 10000 штук, ровно 12 окажутся нестандартными, равна . Задача 6. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3-х самолетов; б) не более 2; в) 4 самолета. Решение: События – прибытия самолетов в аэропорт – представляют собой простейший поток событий. Вероятность появления событий простейшего потока за время длительностью определяется формулой Пуассона: , где
– интенсивность простейшего потока, или среднее число событий, появляющихся в единицу времени. По условию: , : а) , т.е. . Для полной системы событий имеем: . Или в данном случае: . Тогда интересующая нас вероятность . Вычисляем: , , , ; б) , т.е. . Согласно теореме сложения вероятностей получаем, что . Воспользуемся вычислениями, сделанными в предыдущем пункте, и получим, что ; в) . В данном случае искомая вероятность вычисляется по формуле Пуассона: и будет равна . Ответ: вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3-х самолетов, равна ; б) не более 2, равна ; в) 4 самолета, равна .
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-29; просмотров: 619; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.224.4.65 (0.043 с.) |