Закон пуассона – закон редких событий

Пусть требуется найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность осуществления события очень мала, событие наступит ровно раз.

В этом случае ни формула Бернулли, ни асимптотическая формула Лапласа не могут быть практически использованы для решения поставленной задачи.

При больших , малых и если выполняется условие , то для вычисления искомой вероятности применяют формулу Пуассона (закон Пуассона):

, где .

Формула Пуассона широко используется в теории массового обслуживания.

Простейший поток событий

Определение. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени (в предельном случае, если события следуют через определенные интервалы).

Вероятность появления событий простейшего потока за время длительностью определяется формулой Пуассона:

, где

– интенсивность простейшего потока, или среднее число событий, появляющихся в единицу времени.

Примеры решения задач:

Задача 1. Из ящика, где было 4 лопнувших и 12 целых пробирок, вынуто наугад 3 пробирки. Какова вероятность того, что две из них целые?

Решение: Число способов, которыми можно извлечь пробирки из их общего числа , равно – числу сочетаний из элементов по и равно числу всех возможных элементарных исходов испытания.

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди пробирок ровно целые. целые пробирки можно взять из целых различными способами; при этом пробирок должны быть лопнувшими, взять же лопнувших пробирок из имеющихся можно различными способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно

.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов :

.

Вычисления:

,

,

,

.

Ответ: вероятность того, что из 3 наудачу взятых пробирок 2 целые равна .

Задача 2. Центральная городская аптека закреплена за тремя больницами. Вероятность того, что в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты первой больнице, равна 0,6, второй больнице – 0,2, третьей – 0,4. Какова вероятность того, что в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты: 1) одной больнице? 2) по крайней мере, двум больницам?

Решение: Пусть событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты первой больнице; вероятность этого события по условию равна

,

вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна

;

событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты второй больнице; вероятность этого события по условию равна

,

вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна

;

событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты третьей больнице; вероятность этого события по условию равна

,

вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна

.

1) Событие – аптеке придется отпустить медикаменты одной аптеке – реализуется следующим образом:

.

Для нахождения вероятности этого события используем теоремы умножения и сложения вероятностей событий:

2) Событие – аптеке придется отпустить лекарство, по крайней мере, двум (т.е. двум или трем) больницам – включает в себя следующие события:

.

Для нахождения вероятности этого события используем теоремы умножения и сложения вероятностей событий:

, или

.

Ответ: 1) вероятность того, что центральной городской аптеке в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты одной больнице, равна ; 2) вероятность того, что центральной городской аптеке в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты, по крайней мере, двум больницам, равна .

Задача 3. В цехе установлено 5 датчиков предельно допустимой концентрации пыли в воздухе, каждый из которых может включать систему сигнализации. Вероятность срабатывания первого датчика равна 0,8, второго – 0,9, третьего – 0,85, четвертого – 0,7, пятого – 0,75. 1) Найти вероятность того, что по достижении предельно допустимой концентрации пыли сигнализация сработает? 2) Сигнализация сработала. Какова вероятность того, что сигнализацию включил третий датчик?

Решение: Пусть событие состоит в том, что сигнализация сработала. Это событие может произойти только в случае появления одного из несовместных событий – включение датчиком сигнализации. Вероятности событий по условию одинаковы и равны . События образуют полную группу, т.к. .

Известны условные вероятности события – вероятности срабатывания датчика:

, , , , .

1) Вероятность события вычислим по формуле полной вероятности:

, или .

3) Событие произошло. Условную вероятность того, что при этом сработал третий датчик, (событие ) найдем по формуле Байеса:

, или

.

Ответ: 1) вероятность того, что по достижении предельно допустимой концентрации пыли сигнализация сработает, равна ; 2) вероятность того, что сигнализацию при этом включил третий датчик, равна .

Задача 4. Вероятность заражения желудочно-кишечными заболеваниями при однократном приеме внутрь 250 мл не кипяченой речной воды составляет 0,1. Какова вероятность того, что из группы туристов, насчитывающей 6 человек, заболеет хотя бы один, если все они выпили по 250 мл не кипяченой речной воды?

Решение: События – заражение желудочно-кишечными заболеваниями относятся к повторным независимым испытаниям. Вероятность того, что некоторое событие произойдет ровно раз в испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:

.

По условию: , , (событие – «хотя бы один» – означает «один и более»), т.е. .

Известно, что сумма вероятностей событий, составляющих полную систему, равна 1, т.е. . Для данного случая имеем: или ,

тогда получаем, что .

Вычислим :

.

Ответ: вероятность того, что из группы туристов, насчитывающей 6 человек, заболеет хотя бы один, равна .

Задача 5. Какова вероятность того, что в партии таблеток, насчитывающей 10000 штук, 1) не более 20 окажутся нестандартными, если вероятность того, что отдельная таблетка окажется нестандартной, составляет 0,0012? 2) ровно 12 штук окажутся нестандартными?

Решение: События – нестандартная таблетка – относятся к повторным независимым испытаниям.

Число испытаний () в данном случае велико, поэтому использование формулы Бернулли для нахождения вероятности приводит к вычислительным трудностям.

1) Для ответа на первый вопрос используем формулу, позволяющую приближённо определять вероятность , с которой происходит событие .

По условию: , , , , .

Анализ условия показывает, что , значит, для вычисления вероятности используем интегральную теорему Лапласа:

,

здесь – стандартный интеграл вероятностей (функция Лапласа), , , причем . Таким образом, получаем:

.

По таблице значений функции находим (Приложение 2), что , тогда вероятность

.

2) Для ответа на второй вопрос используем формулу, позволяющую приближённо определять вероятность , с которой происходит событие : , где , (локальная теорема Лапласа).

По условию: , , , , , .

Вычисляем :

.

По таблице значений функции находим (Приложение 1), что .

Тогда .

Ответ: 1) вероятность того, что в партии таблеток из 10000 штук, не более 20 окажутся нестандартными, равна ; 2) вероятность того, что в партии таблеток из 10000 штук, ровно 12 окажутся нестандартными, равна .

Задача 6. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не ме­нее 3-х самолетов; б) не более 2; в) 4 самолета.

Решение: События – прибытия самолетов в аэропорт – представляют собой простейший поток событий.

Вероятность появления событий простейшего потока за время длительностью определяется формулой Пуассона: , где

– интенсивность простейшего потока, или среднее число событий, появляющихся в единицу времени.

По условию: , :

а) , т.е. . Для полной системы событий имеем: .

Или в данном случае: . Тогда интересующая нас вероятность .

Вычисляем: , , ,

;

б) , т.е. . Согласно теореме сложения вероятностей получаем, что . Воспользуемся вычислениями, сделанными в предыдущем пункте, и получим, что ;

в) . В данном случае искомая вероятность вычисляется по формуле Пуассона: и будет равна .

Ответ: вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3-х самолетов, равна ; б) не более 2, равна ; в) 4 самолета, равна .