Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Пусть события и несовместны () и заданы вероятностиих осуществления: . Требуется определить вероятность осуществления одного из двух (безразлично какого) этих событий.

Теорема. Вероятность осуществления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: .

Следствие. Вероятность осуществления одного из нескольких попарно несовместных событий (безразлично какого) равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие. Если полная группа событий, то

Следствие. Если полная группа событий, то

Если событие, противоположное событию , обозначить через , то , откуда .

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Пусть события и совместны и заданы вероятности этих событий и вероятность их совместного появления .

Требуется определить вероятность события , состоящего в том, что осуществится хотя бы одно из совместных событий и .

Теорема. Вероятность осуществления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления: .

Вероятность осуществления хотя бы одного события

Пусть события независимы в совокупности и вероятности их осуществления известны: .

Пусть в результате испытания могут осуществиться все событий, либо часть из них (в частности, только одно или ни одного). Требуется найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий.

Теорема. Вероятность осуществления события , состоящего в наступлении хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий : ,

где

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступить при условии осуществления одного и только одного события из полной группы несовместных событий . Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Пусть известны вероятности этих гипотез и условные вероятности события А. Требуется найти вероятность события .

Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии осуществления одного из несовместных событий , образующих полную группу событий , равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующую условную вероятность события : .

Данную формулу называют формулой полной вероятности.

Формула Бейеса

Пусть событие может наступить при условии осуществления одного из несовместных событий (гипотез ) , образующих полную группу событий. Пусть вероятности известны до опыта. Производится опыт, в результате которого осуществляется событие . Требуется переоценить вероятности гипотез при условии, что событие уже произошло. Переоценка вероятностей гипотез может быть осуществлена по формуле проверки гипотез (формуле Бейеса):

Таким образом, вероятность гипотезы после опыта равна дроби, числителем которой является произведение вероятности этой гипотезы до опыта на вероятность события по этой гипотезе, а знаменателем – сумма таких же произведений для всех возможных в данном случае гипотез (или полная вероятность события ).