Математические методы теории оптимизации

(графический способ решения)

 

Математические методы оптимизации используют при решение таких практических задач, в которых требуется найти оптимальное из нескольких возможных решений.

При использовании данного метода решение задачи оптимизации в общем случае сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений и неравенств.

 

Пример: Пусть задана система ограничений

и целевая функция

Требуется найти значения , удовлетворяющие данной системе и превращающие в минимум целевую функцию

В нашем случае имеется 5 переменных и 3 уравнения, поэтому переменных можно принять в качестве свободных, выразив через них базисные переменные.

Так как целевая функция содержит переменные и , то получим:

Каждая переменная в этой системе может принимать только неотрицательные значения. Геометрически это соответствует некоторой полуплоскости в системе координат рисунке.

Например, условие соответствует верхней полуплоскости, условие - правой, условие - полуплоскости, расположенной ниже прямой

Действительно, при получим следовательно, начало координат лежит в полуплоскости, соответствующей положительным значениям переменной Построив далее прямые, соответствующие получим область в которой, в которой все переменные неотрицательны, т. е. область допустимых значений (на рисунке она заштрихована). Многоугольник, соответствующий области допустимых решений (ОДР), является выпуклым, поскольку представляет собой пересечение выпуклых областей, определяемых условиями

Геометрическую интерпретацию оптимального решения можно представить следующим образом. Построим прямую, соответствующую случаю, когда целевая функция равна нулю, т. е.

Если прямую, графически представляющую целевую функцию, передвигать вверх параллельно самой себе, что соответствует увеличению , то значение целевой функции уменьшается, и будем минимальным в крайней точке области допустимых значений, в данном случае в вершине В. Координаты этой точке найдем, решив, совместно уравнения и Получим: При этом значение целевой функции

Если прямую, графически представляющую целевую функцию, передвигать вниз параллельно самой себе, что в данном случае соответствует уменьшению , то значение целевой функции увеличивается, и будет максимальным в вершине С. Координаты этой точки найдем, решив, совместно уравнения и Получим: и

На практике не всегда в условии задачи дается система ограничений и вид целевой функции, поэтому прежде чем приступить к решению задачи необходимо, согласно условию задачи, составить систему ограничений и вид целевой функции.

Пример решения задач:

Пример. Аптека закупает у населения плоды шиповника по цене 2 руб за 1 кг и рябины по цене 0,5 руб за 1 кг, а затем, расфасовав их, продает по цене соответственно 3 руб и 1 руб за кг. На закупку аптеке разрешено использовать не более 1000 руб., а план закупок составляет 300 кг шиповника и 400 кг рябины. Аптека закупила у населения 400 кг шиповника и 400 кг рябины. Оптимальны ли результаты в отношении прибыли от закупок и продажи плодов? Найти оптимальный план, соответствующий оптимальной прибыли.

 

Решение: Пусть - количество шиповника в кг закупаемое у населения, а - рябины в кг. Выражение определяет расходы на закупку шиповника и рябины, по условию они не должны превышать 1000 руб, следовательно Причем по плану закупок , а . Прибыль аптеки составит в рублях Целью аптеки, по условию задачи, является получение максимальной прибыл, т.е. .

Таким образом, система ограничений имеет вид:

а целевая функция

Геометрически система ограничений выглядит следующим образом:

 

Если прямую, графически представляющую целевую функцию , передвигать в направлении области допустимых решений (заштрихована) параллельно самой себе, то значение целевой функции увеличивается, и будет максимальным в крайней точке области допустимых значений, в данном случае в вершине В. Координаты этой точки найдем, решив, совместно уравнения и Получим: . При этом значение целевой функции

Найдем значение целевой функции при : Сравнивая с , делаем вывод: осуществленный аптекой план закупок не является оптимальным.

Ответ: ,

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Понятие вероятности случайных событий

Задачи 1–10

1) Из полной колоды карт (52 карты) вынимаются наугад сразу 3 кар­ты. Найти вероятность того, что этими картами будут тройка, семер­ка, туз.

2) В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынут 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара.

3) В лотерее выпущено 20 билетов, 10 из которых выигрывают. Купле­но 5 билетов. Какова вероятность того, что, по крайней мере, один из купленных билетов выигрышный?

4) Владелец одной карточки лотереи "Спортлото'' (6 из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?

5) Из партии, в которой 30 деталей без дефекта и 5 с дефектом, берут наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что, по крайней мере, одна деталь без дефекта.

6) В партии из 10 деталей имеются 4 бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных 5 деталей окажутся 2 бракованные.

7) В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу вынули 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?

8) В бригаде, состоящей из 4 женщин и 3 мужчин, разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей би­летов окажется 2 женщины и 2 мужчин?

9) В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрывают­ся 5 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

10)В урне б белых, 4 черных и 5 красных шаров. Из урны наугад вынимают 5 шаров. Найти вероятность тоге, что среди них окажутся 2 белых и 1 черный шар.

 

Задание 2. Основные теоремы случайных событий (теоремы сложения и умножения)

 

Задачи 11–20

11)Вероятность попадания в мишень для первого стрелка - 0,8, а для второго - 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет только один из стрелков? По крайней мере, один стрелок?

12)Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того, что он: а) промахнется вес 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза.

13)Вероятность поражения первой мишени для данного стрелка 9/13.Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах 0,5. Определить ве­роятность поражения второй мишени.

14)Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания в цель каждым из охотников одинакова и равна 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено: а) один; б) два; в) три; г) четыре выстрела.

15)Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора-автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый автомат, равна 0,95; второй - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал: а) хотя бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.

16)Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равны 0,9; на третий - 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса.

17)Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены потребует его внимания первый станок, равна 0,7, второй - 0,75, третий - 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего а) потребуют какие-либо два станка; б) хотя бы один станок.

18)Два стрелка производят в цель по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, для второго - 0,8. Найти вероятность того, что попадут в цель: а) оба; б) только один; в) ни один; г) хотя бы один.

19)Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй - 0,4, третий - 0,7, четвертый - 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа а) ни один станок не потребует внимания рабочего; б) хотя бы один станок потребует внимания рабочего.

20)Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй - 0,3, третий - 0,4. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.

 

 

Задание 3. Основные теоремы случайных событий (полная вероятность и формула Байеса)

Задачи 21–30

21)Завод выпускает для магнитофонов три типа предохранителей. До­ля каждого из них в общем объеме продукции составляет 30%, 50%, 20%, со­ответственно. При перегрузке сети предохранитель первого типа срабатывает с вероятностью 0,8, второго – 0,9 и третьего– 0,85. Оп­ределить вероятность того, что: а) выбранный наудачу предохрани­тель не сработает при перегрузке сети; б) предохранитель, который не сработал при перегрузке сети, принадлежит к первому типу?

22)В продукции кондитерской фабрики шоколадные конфеты составляют 40% ассортимента. В среднем 10 из 1000 шоколадных конфет оказываются с браком. Для остальной продукции этот показатель равен 5 из 200, Найти вероятность того, что; а) выбранное наугад изделие окажется без брака; б) выбранное наугад изделие без брака оказалось шоколадной конфетой.

23)Турист может пообедать в трех столовых города. Вероятность того, что он отправится к первой столовой - 1/5, ко второй - 3/5 и к третьей - 1/5. Вероятности того, что эти столовые закрыты следующие: первая - 1/6, вторая - 1/5 и третья - 1/8. Определить веро­ятность того, что: а) турист пообедал в одной из выбранных столовых; б) столовая, в которой пообедал студент, оказалась второй столовой?

24)На фабрике, изготавливающей некоторую продукцию, первая ма­шина производит 30%, вторая - 45%, третья - 25% всех изделий. Брак их продукции составляет соответственно 2%, 5% и 3%. Найти вероятность того, что: а) случайно выбранное изделие оказалось дефектным; 6) случайно выбранное изделие произведено первой машиной, если оно оказалось дефектным.

25) Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит вы­стрел. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0.5, для третьего – 0,8. Най­ти вероятность того, что: а) мишень будет поражена одним из, стрелков; б) мишень была поражена выстрелом, произведенным 2-м стрелком.

26)В часовую мастерскую поступают в среднем 40% часов с дефектом А, 25% с дефектом В и 35% с дефектом С. Вероятность ремонта часов с дефектом А равна 0,6, с дефектом B - 0,7, с дефектом С - 0,8. Найти вероятность того, что: а) часы, поступившие в ремонт, будут полностью отремонтированы; б) полностью отремонтированные часы имели дефект А.

27)На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20 %, второй - 46%, третьей - 34%. Из­вестно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй - 2%, для третьей - 1 %. Найти веро­ятность того, что: а) наудачу взятое изделие окажется нестандарт­ным; б) наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно изделие оказалось нестандартным.

28)В специализированную больницу поступают в среднем 50% боль­ных с заболеванием К, 30% с заболеванием N, 29% с заболеванием М. Вероятность полного излечения от болезни К равна 0,7, для бо­лезней N и М эта вероятность соответственно равна 0,8 и 0,9. Опре­делить: а) вероятность выздоровления больного; б) вероятность то­го, что выздоровевший больной страдал заболеванием К.

29)Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин страдает дальтонизмом. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?

30)Имеются 2 урны: в первой 3 белых и 2 черных, а во второй 4 белых и 4 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого их 2-й урны берут один шар. Найти: 1) вероятность того, что этот шар будет белым; 2) вероятность того, что из первой урны наугад переложили 2 белых шара, если из второй урны был вынут белый шар.

Задание 4. Основные теоремы повторных независимых случайных событий, простейший поток событий)

Задачи 31–40

31)В машбюро 5 пишущих машинок. Вероятность того, что каждая из них в течение года потребует ремонта, равна 0,2. Найти вероят­ность того, что в течение года не придется ремонтировать хотя бы две машинки.

32)В магазин вошли 5 покупателей. Найти вероятность того, что не менее трех из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,3.

33)Рабочий обслуживает 5 одинаковых станков. Вероятность того, что в течение часа станок потребует регулировки, равна 1/3. Какова ве­роятность того, что в течение часа рабочему придется регулировать 4 станка?

34)В партии товаров имеется 400 изделий, Вероятность того, что изде­лие будет высшего сорта, равна 0,8. Какова вероятность того, что а) в партии товаров окажется ровно 320 изделий высшего сорта; б) число изделий высшего сорта в партии товаров будет от 310 до 330?

35) В результате проверки качества приготовленного посева зерна ус­тановлено, что 90% зёрен всхожи. Для посадки отобрано и высажено 900 зёрен. Найти вероятность того, что: а) из взятых зёрен про­растёт 820 штук; б) прорастёт от 600 до 640 посаженных зёрен.

36)Среди 1100 студентов левши составляют 1%. Чему равна вероятность того, что из общего количества студентов: а) ровно 11 левшей; б) не менее 20 левшей?

37)Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за I минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не ме­нее 3-х самолетов; б) не более 2; в) 4 самолета.

38)Среднее число кораблей, находящих в порт за 1 час, равно трем. Найти вероятность того, что за 4 часа в порт зайдут: а) 6 кораблей; б) менее 6 кораблей; в) не менее 6 кораблей.

39)Через кассу в магазине в течение 1 минуты проходит в среднем 2 человека. Найти вероятность того, что за 2 минуты пройдет: а) 4 человека; 6) не менее 2-х человек; в) не более 3-х.

40) При работе ЭВМ возникают сбои (нарушения в работе). Среднее число сбоев в сутки равно 2. Найти вероятность того, что: а) за двое суток не произойдет сбоя; б) в течение суток произойдет хотя бы один сбой; в) за трое суток произойдёт не менее 3-х сбоев.

Задание 5. Законы распределения случайных величин

Задачи 41–45

Задан закон распределения дискретной случайной величины . Найти:

а) математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратическое отклонение ;

б) составить функцию распределения случайной величины и построить ее график;

в) вычислить вероятности попадания случайной величины в интервал , пользуясь составленной функцией распределения ;

г) составить закон распределения случайной величины ;

д) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины двумя способами: пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также непосредственно по закону распределения случайной величины

 

 

41.

	0,1	0,2	0,1	0,2	0,4

42.

	0,2	0,3	0,1	0,2	0,2

43.

	0,2	0,3	0,1	0,2	0,2

44.

 

	0,2	0,2	0,2	0,3	0,1

45.

 

	0,2	0,3	0,1	0,2	0,2

46.

Задачи 46–50

Случайная величина задана интегральной функцией распределения . Требуется убедиться, что заданная функция является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства . В случае положительного ответа найдите: а) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание случайной величины ; c) дисперсию случайной величины (двумя способами) и среднеквадратическое отклонение; d) построить графики интегральной и дифференциальной f(x) функций; e) определить вероятность попадания величины в интервал () двумя способами (используя интегральную и дифференциальную функции), а затем проиллюстрировать этот результат на графиках и .

46.

47.

48.

49.

50.

Задание 6. Нормальный закон распределения

 

Найти вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины , если известны ее математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение .

51) , , ,

52) , , ,

53) , , ,

54) , , ,

55) , , ,

56) , , ,

57) , , ,

58) , , ,

59) , , ,

60) , , ,

 

Задание 7. Первичный анализ выборочных данных (рекомендуется использовать Excel);

Из таблицы значений некоторого признака сделайте выборку согласно номеру задачи своего варианта и выполните статистическую обработку данных по следующей схеме:

1) выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд распределения, выбрав его значений (согласно своему варианту);

2) составить равноинтервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на интервалов;

3) построить гистограмму распределения;

4) найти числовые характеристики выборочной совокупности:

– характеристики положения (выборочную среднюю, моду, медиану);

– характеристики рассеяния (выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации, показатели асимметрии и эксцесса)

5) по результатам обработки выборочных данных (на основании выполнения свойств нормального распределения и вида гистограммы) выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности и проверить ее:

– используя правило «»;

– с помощью коэффициентов асимметрии и эксцесса на уровне значимости ;

6) построить полигон распределения и кривую нормального распределения по опытным данным, приняв в формуле Гаусса математическое ожидание и ;

7) найти доверительный интервал для генеральной средней . Принять уровень значимости .

61. Номера значений с 1 по 40

62. Номера значений с 21 по 60

63. Номера значений с 41 по 80

64. Номера значений с 61 по 100

65. Номера значений с 81 по 120

66. Номера значений с 101 по 140

67. Номера значений с 121по 160

68. Номера значений с 141по 180

69. Номера значений с 161по 200

70. Номера значений с 1 по 20 и с 181по 200

Таблица значений признака

№	Значения признака, полученные в результате эксперимента
1–10
11–20
21–30
31–40
41–50
51–60
61–70
71–80
81–90
91–100
101–110
111–120
121–130
131–140
141–150
151–160
161–170
171–180
181–190
191–200

Задание 8.

Регрессионный и корреляционный анализ. (рекомендуется использовать Excel)

Задачи 71-75. Даны результаты 9 независимых измерений над системой случайных величин (X,Y). Требуется:

1) построить корреляционное поле;

2) предполагая, что данная зависимость между X и Y близка к линейной, найти выборочный коэффициент корреляции ;

3) проверить достоверность найденного значения выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости ;

4) найти уравнение регрессии Y на X;

5) построить линию регрессии на фоне экспериментальных данных.

71.

X
Y

72.

X
Y

73.

X
Y

74.

X
Y

75.

X
Y

 

Однофакторный дисперсионный анализ (рекомендуется использовать Excel);

 

1. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости установите существенность влияния некоторого физического фактора , имеющего три уровня градации, на массу экспериментальных животных :

	Уровень фактора
Значения признака

Установите силу влияния фактора на признак.

77.

	Уровень фактора
Значения признака

Методом дисперсионного анализа при уровне значимости установите существенность влияния способа обработки фармацевтического сырья (фактора ) на выход продукта – результативный признак . Установите силу влияния фактора на признак.

78. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости установите существенность влияния реагента (фактора ) на синтез лекарственного препарата (выход – результативный признак). Установите силу влияния фактора на признак.

	Уровень фактора
Значения признака	4,5	3,0	4,0	3,5
3,5	2,5	3,5	2,0
6,5	5,5	4,5	6,0
7,5	7,0		7,0
5,5	4,0
6,0

79. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости установите существенность реагента (фактора ) на синтез лекарственного препарата (выход – результативный признак). Установите силу влияния фактора на признак.

	Уровень фактора
Значения признака	4,5	3,5	6,5	7,5
3,0	2,5	5,5	7,0
4,0	3,5	4,5	8,5
3,5	2,0	6,0	7,0

 

80. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости установите существенность влияния среды (фактора ) на экстракцию комплекса металла с лигандом из водной фазы в органическую фазу (выход – результативный признак). Установите силу влияния фактора на признак.

	Уровень фактора
=3	=6	=9
Значения признака

 

Задание 9.

Анализ временных рядов(рекомендуется использовать Excel)

1) методом скользящего среднего провести сглаживание временного ряда;

2) построить линейную модель, параметры которой оценить МНК;