Интервальные оценки параметров генеральной совокупности

Определение. Интервальной оценкой называется числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала, содержащего неизвестный параметр генеральной совокупности.

Определение. Доверительным интервалом называется интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительная вероятность – вероятность, что событие вероятности можно считать невозможным, – уровень значимости. В качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1 (например, 0,95; 0,99; 0,999).

Для малых выборок нормально распределенного количественного признака Х доверительный интервал имеет вид:

,

где – коэффициент Стьюдента, значение которого определяется величиной доверительной вероятности и числом степеней свободы (Приложение 4).

Для больших выборок нормально распределенного количественного признака Х доверительный интервал имеет вид:

,

где – коэффициент Стьюдента, значение которого определяется величиной доверительной вероятности и числом степеней свободы (Приложение 4).

Пример решения задач:

Задача. Пусть дана последовательность значений некоторого признака: 63, 77, 68, 77, 77, 71, 104, 102, 93, 83, 81, 72, 74, 74, 79, 79, 82, 82, 84, 84, 85, 85, 84, 85, 85, 87, 87, 86, 95, 95, 86, 86, 88, 88, 88, 91,91, 91, 96, 96. Выполните статистическую обработку данных по следующей схеме:

1) выполнить ранжирование признака и составить безинтервальный вариационный ряд распределения, выбрав его значений (согласно своему варианту);

2) составить равноинтервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на интервалов;

3) построить гистограмму распределения;

4) найти числовые характеристики выборочной совокупности (моду, медиану, выборочную среднюю, выборочную дисперсию, коэффициент вариации);

5) по результатам обработки выборочных данных выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, например, по виду гистограммы, и выполнить ее проверку, используя правило «»;

6) построить кривую нормального распределения по опытным данным, приняв в формуле Гаусса математическое ожидание и ;

7) найти доверительный интервал для генеральной средней . Принять уровень значимости

Решение:

1) Выполним ранжирование выборочных данных:

Таким образом, имеем: .

2) Для построения равноинтервального вариационного ряда:

– найдем по формуле Стерджеса число интервалов (обратите внимание, что число интервалов – целое число) : ;

– вычислим ширину интервала ;

– вычисления границ интервалов и пр. выполним в таблице:

 

Границы интервалов	[63;69,83)	[69,83;76,66)	[76,66;83,49)	[83,49;90,32	90,32;97,15)	[97,15;104]
Число попаданий в интервал,
Относительная частота,	0,05	0,1	0,225	0,375	0,2	0,05
Плотность относительной частоты,	0,007	0,015	0,033	0,055	0,029	0,007	–   –
Середина интервала,	66,415	73,245	80,085	86,905	93,735	100,575	– –

3) Гистограмма распределения рис 6.

Рис 6. Гистограмма распределения величины Х

 

3) вычислим основные числовые характеристики выборки:

– моду: ;

– медиану: ;

– выборочную среднюю:

–

– выборочную дисперсию:

–

– выборочное среднеквадратическое отклонение:

–

– коэффициент вариации: ,

значение коэффициента вариации означает, что разброс значений признака слабый.

5) Вид гистограммы позволяет выдвинуть гипотезу, о том, что данная выборка принадлежит нормально распределенной генеральной совокупности.

Для проверки выдвинутой гипотезы воспользуемся правилом «трех сигм», согласно которому при нормальном распределении признака все его значения принадлежат интервалу (), а значит .

Проверим это:

;

.

Таким образом, при уровне значимости принимаем выдвинутую гипотезу, т.е. выборка принадлежит нормально распределенной генеральной совокупности.

6) Для построения кривой нормального распределения по опытным данным примем в формуле Гаусса математическое ожидание и .

Кривая распределения представляет собой график функции плотности вероятности.

Плотность вероятности нормального распределения вычисляется по формуле Гаусса:

,

где – значение варианты, – значение выборочной средней, – значение выборочной дисперсии, – выборочное среднеквадратическое отклонение.

Для построения кривой Гаусса достаточно вычислить координаты 7 точек:

;

;

;

.

Построим график кривой Гаусса на фоне гистограммы (рис 7).

Рис 7. Кривая Гаусса на фоне гистограммы, построенные по исходным данным

7) найдем доверительный интервал для генеральной средней. Для этого вычислим:

;

;

,

здесь найдено по заданным значениям и (или по таблице Приложения 6. Таким образом, получаем, что

или

при уровне значимости .

Т.к. измерения величины Х проводились с точностью до целых, то окончательный результат записываем с точностью до 0.1