Статистический интервальный ряд распределения

Определение. Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами (или долями) попаданий в каждый из них значений величины.

Число интервалов находится по формуле Стерджеса (если объем большой выборки не более 100):

.

Ширина интервала находится по формуле:

,

где –число интервалов, – максимальное значение варианты и – минимальное значение варианты.

Для наглядного представления статистического интервального ряда распределения строится гистограмма.

На оси Ox откладывают частичные интервалы длиной . На каждом частичном интервале строят прямоугольник с основанием , равным длине частичного интервала, и высотой (или ), равной частному от деления частоты интервала (относительной частоты) на длину интервала. Частоту (относительную частоту), приходящуюся на единицу интервала, называют плотностью частоты (относительной частоты). Площадь i – го частичного прямоугольника равна . Полученную таким образом ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, называют гистограммой. Площадь гистограммы равна сумме всех частот (относительных частот), т.е. объему выборки (единице).

Интервалы, x
Плотность частоты,

 

Аналогичную таблицу можно образовать, заменяя в нижней строке плотность частоты на плотность относительной частоты .

Гистограмма плотности частот состоит из прямоугольников с основаниями , высота которых равна рис 5.

Рис 5. Гистограмма плотности частот

Выборочные характеристики

Характеристики положения

Определение. Выборочной средней называется среднее арифметическое значение вариант статистического ряда. Вычисляется по формуле:

.

Определение. Модой называется наиболее часто встречающая в ряду распределения варианта. Она дает представление о центре распределения вариационного ряда.

В дискретном вариационном ряду мода – варианта, встречающая с наибольшей частотой.

В интервальном ряду мода вычисляется по формуле:

,

где – нижняя граница модального интервала, т.е. интервала с наибольшей частотой встречаемости ; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному; – частота интервала, следующего за модальным; – ширина модального интервала.

Определение. Медианой называется серединная варианта, центральный член ранжированного ряда. Если вариант в ряду четное количество, то медиана равна полусумме двух вариант, находящихся в середине ранжированного ряда.

В интервальном ряду медиана вычисляется по формуле:

где – нижняя граница медианного интервала, – частота медианного интервала; – частота интервала, предшествующего медианному; – сумма частот ряда, – ширина медианного интервала.

Показатели рассеяния вариант

Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений вариант от их среднего значения.

Существующий недостаток дисперсии, которая является именованной величиной, – несоответствие ее размерности и размерности отдельных единиц числового ряда. Если варианты выражены в метрах, то дисперсия дает квадратные метры; если варианты в килограммах, то дисперсия дает квадрат этой меры, и т.д. Указанного недостатка лишено среднеквадратическое отклонение.

Выборочное среднеквадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

.

Коэффициент вариации представляет собой процентное отношение среднеквадратического отклонения к среднему арифметическому:

.

Коэффициент вариации позволяет оценивать вариабельность (разброс) признака в нормированных границах. Если его значение не превышает 10%, то можно говорить о слабом разбросе. Если коэффициент вариации находится в пределах 10-20%, разброс средний, если превышает 20%, то разброс вариант считают большим.