Основы теории вероятностей. Случайные события

 

Теория вероятностей – раздел математики, где изучаются закономерности случайных событий.

Теория вероятностей дает количественное измерение вероятностей случайных явлений и построение на этой основе математической модели наблюдаемых случайных эмпирических соотношений.

Испытание и событие

В природе и повседневной жизни часто приходится сталкиваться со случайными явлениями, т. е. с ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Процесс познания действительности в этом случае осуществляется в результате наблюдений или испытаний (экспериментов).

Определение. Под испытанием (наблюдением) понимается любой доступный частому повторению процесс, протекающий при реализации заданного комплекса условий.

Определение. Результат, или исход испытания называется событием.

Виды событий

Различают три вида событий: случайные, достоверные и невозмож­ные.

Определение. Событие, которое при реализации заданного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, называется случайным.

Определение. Событие, которое неизбежно происходит при каждой реализации заданного комплекса условий, называется достоверным.

Определение. Событие, которое заведомо не может произойти при реализации заданного комплекса условий, называется невозможным.

Виды случайных событий

Случайные события подразделяются на следующие виды: равновозможные, несовместные и совместные, зависимые и независимые.

Определение. Два или несколько случайных событий называются равновозможными, если условия их появления одинаковы и нет основания утверждать, что какое-либо из них в результате испытания имеет больше шансов осуществиться, чем другие.

Определение. События называются несовместными, если в результате испытания осуществление одного из них исключает осуществление остальных.

Определение. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Определение. Два события называются независимыми, если появление одного из них не влияет на шансы появления другого.

Определение. Два события называются зависимыми, если появление одного из них влияет на шансы появления другого.

Полная группа событий

Определение. Если в результате испытания обязательно осуществится одно и только одно из несовместных событий , то эти события называются полной группой событий.

Определение. Два несовместных события, образующие полную группу событий, называются противоположными.

Исходы испытания

Определение. Несовместные события, имеющие одинаковую возмож­ность осуществиться, называются исходами испытания.

Определение. Исходы называются благоприятными для события , если осуществление любого из исходов является вместе с тем осуществлением события .

Операции над событиями

Определение. Если при каждом осуществлении заданного комплекса условий, при котором происходит событие , происходит и событие , то говорят, что влечёт за собой , и обозначают символом или .

Определение. Если влечет за собой и в то же время влечёт за собой , т.е. события и оба наступают или оба не наступают, то говорят, что события и равносильны, и обозначают символом .

Определение. Событие, состоящее в наступлении обоих событий и , называется произведением (или пересечением) событий и , и обозначается символом или .

Определение. Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий и , (возможно, двух сразу), называется суммой (или объединением) событий и , и обозначается символом или

Событие, противоположное событию , обозначают с помощью символа .

Определение суммы и произведения двух событий обобщается на любое число событий.

Понятие вероятности