Числовые характеристики дискретной случайной величины

Математическое ожидание

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на соответствующие им вероятности:

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: , где .

2. Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий этих величин: .

Следствие. Если , то .

3. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: , где .

4. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях (математическое ожидание биноминального распределения) равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .

Дисперсия

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

.

Для вычисления дисперсии также можно использовать следующую формулу:

,

т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом её математического ожидания.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: ,

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предвари­тельно возведя его в квадрат: ,

3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

5. Если , то

Замечание 2. Для вычисления дисперсии биноминального распределения можно воспользоваться следующей формулой: , где – число испытаний; – вероятность осуществления события в одном испытании; – вероятность осуществления события (противоположного событию ) в одном испытании.

Среднеквадратическое отклонение

Определение. Среднеквадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:

Замечание 3. На основании данного определения для обозначения дисперсии часто используется символ .

Интегральная функция распределения

Для количественной характеристики распределения случайной величины вводится понятие интегральной функции pacпределения случайной величины.

Определение. Интегральной функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение меньше , т. е.

.

Свойства функции распределения

1. Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку .

2. Функция распределения есть неубывающая функция, т. е. если .

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал , равна приращению её интегральной функции распределения на интервале : .

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определённое, заранее заданное значение равна нулю: .

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то при , при .

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения: , .

Для дискретной случайной величины функция распределения определяется по формуле: , где неравенство под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все значения , меньшие .

Дифференциальная функция распределения

Непрерывную случайную величину можно задавать не только с помощью интегральной функции, но и с использованием дифференциальной функции распределения вероятностей.

Определение. Дифференциальной функцией распределения называется производная от интегральной функции:

.

Часто вместо термина «дифференциальная функция» пользуются термином «дифференциальный закон распределения» или термином «плотность вероятности».

Так как интегральная функция является первообразной дифференциальной функции, то вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , определяется равенством: . Если известна дифференциальная функция, можно найти интегральную функцию распределения: .

Свойства дифференциальной функции распределения

1. Дифференциальная функция распределения есть функция неотрицательная: .

2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции распределения равен .

Последнее равенство называется условием нормировки плотности вероятностей.