Поток событий и его характеристики

 

Определение. Потоком событий называется последовательность событий, происходящих один за другим в какие- то моменты времени.

Характер событий, образующих поток может быть различным, а если события отличаются друг от друга только моментом времени, в который они происходят, то такой поток событий называется однородным.

Однородный поток можно изобразить последовательностью точек на оси, соответствующей времени:

Определение. Поток событий называется регулярным, если события следует одно за другим через строго определенные промежутки времени.

Определение. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того ли иного числа событий на участок времени зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.

Стационарность потока событий означает, что плотность потока постоянна, отсутствуют промежутки времени, в течение которых событий больше чем обычно. Классический пример – “час пик” на транспорте.

Определение. Поток событий называется потоком без последействий, если для любых неперекрещивающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, опадающих на другие.

Отсутствие последействий означает, что заявки в систему поступают независимо друг от друга. Поток выходных событий систем массового обслуживания обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет.

Пример – вход пассажиров на станцию метро является потоком без последействия, т.к. причины прихода отдельного пассажира не связаны с причинами прихода всех остальных, а выход пассажиров со станции является потоком с последействием, т.к. он обусловлен прибытием поезда.

Последействие, свойственное выходному потоку следует учитывать, если этот поток в свою очередь является входным для какой- либо другой системы.

Определение. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок D t двух или более событий достаточно мало по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Условие ординарности означает, что заявки на систему приходят по одному, а не парами, тройками и т.д. Однако, если заявки поступают только парами, только тройками и т.д., то такой поток легко свести к ординарному.

Определение. Если поток событий стационарен, ординарен и без последействий, то такой поток называется простейшим (пуассоновским) потоком.

Это название связано с тем, что в этом случае число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, распределено по распределению Пуассона.

В соответствии с этим законом распределения математическое ожидание числа точек, попавших попадающих на участок времени , имеет вид:

.

l - плотность потока – среднее число событий в единицу времени.

Вероятность того, что за время t произойдет ровно т событий, равна:

.

Вероятность того, что в течение данного времени не произойдет ни одного события, равна:

.

Пусть Т – промежуток времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке. Найдем функцию распределения:

.

В соответствии с законом распределения Пуассона, получаем:

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны:

Таким образом, для величины Т получили показательный закон распределения.

Пример. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заявок в час. Считая поток заказов простейшим, определить вероятность того, что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа, б) за 10 минут поступит не более трех заказов.

Сначала найдем плотность (интенсивность) потока, выразив ее в количестве заявок в минуту. Очевидно, эта величина равна .

Далее находим вероятность того, что за время мин не поступит ни одной заявки по формуле:

.

Вероятность того, что за 10 минут поступит не более трех заказов будет складываться из вероятностей того, что не поступит ни одного заказа, поступит один, два или ровно три заказа:

.

Пример. В ресторан прибывает в среднем 20 посетителей в час. Считая поток посетителей простейшим, и зная, что ресторан открывается в 11.00, определите:

а) вероятность того, что в 11.12 в ресторан придет 20 посетителей при условии, что в 11.07 их было 18

б) вероятность того, что между 11.28 и 11.30 в ресторане окажется новый посетитель, если известно, что предшествующий посетитель прибыл в 11.25.

Для ответа на первый вопрос фактически надо найти вероятность того, что в промежуток от 11.07 до 11.12 ( минут) придет ровно 2 посетителя. При этом мы знаем интенсивность потока посетителей - l = 20/60 = 1/3 посетителей в минуту. Конечно, данная величина носит условный характер, т.к. посетители не могут приходить по частям.

Искомая вероятность равна:

.

Для решения второго вопроса заметим, что в условии задачи не сказано, сколько именно новых посетителей будет в промежутке от 11.28 до 11.30, главное чтобы был хоть один. Эта вероятность равна . Здесь – вероятность того, что в этом промежутке не будет ни одного посетителя.

Если поток событий нестационарен, то его плотность l уже не является постоянной величиной, а зависит от времени.

Определение. Мгновенной плотностью потока событий называется предел отношения среднего числа событий, приходящегося на элементарный отрезок времени (t, t + Dt), к длине этого участка, которая стремиться к нулю:

.

Как следует из приведенного определения, с учетом того, что среднее число событий на участке времени равно математическому ожиданию, то можно сказать, что мгновенная плотность потока равна производной по времени от математического ожидания числа событий на участке .

Определение. Нестационарным пуассоновским потоком называется ординарный поток однородных событий без последействий с переменной плотностью .

Для такого потока число событий, попадающих на участок длины , начинающийся в точке , подчиняется закону Пуассона:

где – математическое ожидание числа событий на участке от до . Оно вычисляется по формуле:

.

Величина а на только от длины участка , но и от его положения во времени. Закон распределения промежутка Т между двумя соседними событиями также будет зависеть от того, где на временной оси расположено первое из событий, а также от функции .

Вероятность того, что на участке времени от до не появится ни одного события, равна:

.

Тогда, соответственно, вероятность появления хотя бы одного события на этом интервале времени будет равна:

.

Плотность распределения можно найти дифференцированием:

.

Эта плотность распределения уже не будет показательной. Она зависит от параметра и вида функции . Однако, условие отсутствия последействия в этом виде потока сохраняется.

Поток Пальма

 

Поток Пальма еще называют потоком с ограниченным последействием.

Определение. Потоком Пальма называется ординарный поток однородных событий, если промежутки между событиями представляют собой независимые случайные величины.

Если промежутки времени распределены по показательному закону, то поток Пальма становится простейшим потоком.

Примером потока Пальма может служить движение колонны автомобилей. Пусть движется колонна автомобилей, каждый из которых, двигаясь с одинаковой скоростью, стремится держаться на некотором заданном расстоянии от впереди идущего автомобиля. Однако, вследствие воздействия множества случайных факторов, это расстояние выдерживается не точно. Тогда времена пересечения каждым автомобилем определенного рубежа будут независимыми случайными величинами и образуют поток Пальма.

Заметим, что если автомобили будут стремиться выдерживать заданное расстояние не от соседней машины, а от головной, то моменты пересечения этого рубежа уже не будут образовывать поток Пальма.

Поток Пальма часто получается в качестве выходного потока систем массового обслуживания.

Теорема Пальма. Пусть на систему массового обслуживания поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается). Если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток не обслуженных заявок является также потоком типа Пальма.

Этот факт имеет важное значение, так как на практике получившие отказ заявки обычно перенаправляются на другую систему массового обслуживания, т.е. образуют для этой системы входной поток.

Так, если на систему массового обслуживания поступает простейший входной поток, то поток заявок, получивших отказ, уже не будет простейшим, однако, будет потоком с ограниченным последействием.

 

Потоки Эрланга

 

Потоки Эрланга также являются потоками с ограниченным последействием. Они образуются просеиванием простейшего потока.

Суть этого просеивания состоит в следующем. Если изобразить на временной оси простейший поток, поставив в соответствие каждому событию некоторую точку, и выбросить из потока каждую вторую точку, то получим поток Эрланга первого порядка. Оставив каждую третью точку и выбросив две промежуточные, получаем поток Эрланга второго порядка и т.д.

Определение. Потоком Эрланга k – порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить в простейшем потоке каждую – ю точку, а остальные выбросить.

Очевидно, что простейший поток может рассматриваться как поток Эрланга нулевого порядка.

Пусть имеется простейший поток с интервалами между событиями. Величина Т – промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k – го порядка.

Очевидно, что . Так как первоначальный поток – простейший, то случайные величины распределены по показательному закону:

Обозначим плотность распределения величины Т для потока Эрланга k – го порядка. Если умножить эту плотность на элементарный отрезок времени dt, мы получим вероятность того, что величина Т примет значение в некоторой сколь угодно малой окрестности точки t- . На этот участок должна попасть конечная точка промежутка, а предыдущие k точек простейшего потока – на промежуток .

Вероятность первого события равна , а второго - . Эти события должны осуществиться совместно, значит, их вероятности надо перемножить.

;

Полученный закон распределения называется законом распределением Эрланга k- го порядка.

При получаем показательный закон распределения.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение для распределения Эрланга находятся по формулам:

Плотность потока Эрланга равна

Для промежутка времени между двумя соседними событиями в потоке Т рассмотрим нормированную величину . Такой поток будет называться нормированным потоком Эрланга.

Закон распределения для такого потока будет иметь вид:

;

Математическое ожидание и дисперсия будут равны:

Следовательно, что неограниченном увеличении k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными .

Изменение порядка нормированного потока Эрланга позволяет получить различную степень последействия. Последействие возрастает с увеличением k.

На практике это удобно для приближенного представления реального потока с каким – либо последействием потоком Эрланга. При этом порядок этого потока определяется из того соображения, чтобы характеристики потока Эрланга (математическое ожидание и дисперсия) совпадали с характеристиками исходного потока.