Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная f'(x) также является функцией от x на этом промежутке. Если f '(x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y'' или f''(x).

Итак, f''(x) = (f '(x))'.

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y''' или f '''(x).

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной (n – 1)-го порядка и обозначается: y⁽ⁿ⁾ или f ⁽ⁿ⁾(x). Итак, f⁽ⁿ⁾(x) = (f ^(n-1)(x))'.

Производные y'', y''',... называются производными высших порядков.

Пример 1. . Найти f ''(x) и f ''(4).

Решение.

Пример 2. Найти производную n-го порядка для функции y = e^3x.

Решение. y' = 3e^3x, y'' = 3× 3e^3x = 3²e^3x, y''' = 3³e^3x.

По аналогии находим: y⁽ⁿ⁾ = 3ⁿe^3x.

Рассмотрим механический смысл второй производной.

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой S = f(t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V =S '(t). В момент времени t + Δt скорость получит приращение

ΔV = V(t + Δt) – V(t).

Отношение называется средним ускорением за время Δt. Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда Δt → 0:

Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S''(t).

Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.

Пусть y = f(x), x X. Дифференциал этой функции y = f'(x)dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.

Дифференциал от дифференциала функции называется д ифференциалом второго порядка и обозначается d²y или d²f(x).

Итак, d²y = d(dy), но dy= dx, поэтому

d²y = d(f '(x) dx) = (f''(x) dx)dx = f''(x)(dx)².

Будем вместо (dx)² писать dx².

Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка и обозначается d³y или d³f(x):

d³y = d(d²y) = d(f''(x) dx²) = f'''(x)dx³ и т.д.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала
(n – 1)-го порядка dⁿy = d(dⁿ – ¹y) = d(f ^{(n – 1)}(x)dx^{n – 1}) = f ⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

Итак, dⁿy = f ⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ. Отсюда .

Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется. Так, вместо y'_x будем писать: , вместо y'_t пишем: .

Пример 3. Найти d3y для функции y = cos2x.
Решение. d³y = y'''dx³. Вычислим y''', находя последовательно y', y'', y''':

y' = (cos²x)' = –2cosxsinx = –sin2x, y'' = (–sin2x)' = –2cos2x, y''' = 4sin2x.

Следовательно, d³y = 4sin2xdx³.

Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.

Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями
(T – некоторый промежуток).
Найдем (разд.2.6), поэтому
.
Аналогично будут вычисляться и т.д.

Пример 4. Функция y от x задана параметрически уравнениями:

Найти .
Решение.

Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.

Пример 5. Найти , для функции, заданной неявно уравнением:
e^y + xy = e. Вычислить y'(0), y''(0).
Решение. Найдем сначала y', как описано в разд. 2.5:

Для нахождения y'' будем дифференцировать равенство e^y×y' + y + xy' = 0, получим:
e^y×(y')² + e^y×y'' + y' + y' + xy'' = 0, отсюда найдем y'', затем подставим найденное значение y':
y''(e^y + x) = –e^y×(y')² – 2y',

Итак, . Подставим x = 0 в исходное уравнение e^y + xy = e, получим: e^y + 0×y = e, откуда y = 1, значит,