Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена, непрерывна на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке x₀ существует производная этой функции, то f' (x₀)= 0.

Доказательство. Пусть f(x₀) = M – наибольшее значение функции на (a, b). Покажем, что f'(x₀) = 0. По определению производной

.
Так как f(x₀) – наибольшее значение, то при любом знаке Δx имеем f(x₀ + Δx) – f(x₀) ≤ 0. Отсюда, если Δx > 0, то , а поэтому f '(x₀)≤ 0.

Если Δx < 0, то , поэтому f '(x₀)≥0. Так как f '(x₀) – определенное число, то получаем, что f '(x₀) = 0. Теорема доказана.

Геометрически теорему Ферма поясняет рис. 2.7. В точке x₁ функция принимает наибольшее значение M, а в точке x₂ – наименьшее значение m, касательные к графику y = f (x) в точках A и B параллельны оси Ox, так как f'(x₁) = 0 и f'(x₂) = 0.

 

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в каждой внутренней точке и f(a) = f(b), то существует, по крайней мере, одна внутренняя точка x₀ отрезка [a, b], что f'(x₀) = 0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m (см. главу 1)

Если M = m, то функция f(x) постоянна на отрезке [a, b], а потому f'(x) = 0 для любого x (a, b).
Рассмотрим случай, когда M ≠ m. Так как f(a) = f(b), то либо M ≠ f(a), либо m ≠ f(a), тогда либо наибольшее значение M, либо наименьшее значение m достигается во внутренней точке x₀, x₀ (a, b). Следовательно, по теореме Ферма = 0. Теорема доказана.
Геометрически теорема Ролля утверждает (рис. 2.8), что если функция непрерывная на [a, b] и дифференцируемая на (a, b), имеет на концах отрезка [a, b] одинаковые значения, то найдется точка x₀ (a, b), для которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна внутренняя точка x₀ отрезка
[a, b], такая, что

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и во всех внутренних точках этого отрезка f'(x) = 0, то функция f(x) постоянна на отрезке [a, b].

Теорема Коши. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на (a, b), причем g'(x) ¹ 0 для любой точки x из интервала (a, b). Тогда существует внутренняя точка x₀ отрезка [a, b], такая, что

.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши будут многократно применяться на протяжении курса математического анализа.

Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа )

Пусть функции f(x), g(x) определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x₀ и некоторой ее окрестности, причем g'(x) ≠0 для любого x из этой окрестности, и пусть f(x₀) = 0, g(x₀) = 0 (следовательно, f(x), g(x) – бесконечно малые при x→x₀). Если существует, то существует (2.18)

 

Пример 1. Найти .
Решение. Поскольку функции f(x) =1 – cos3x, g(x) = 2x удовлетворяют условию теоремы Лопиталя, то
Замечание 1. Теорема Лопиталя справедлива и в том случае, когда функции f(x), g(x) не определены в точке x₀, но . В самом деле, если доопределить f (x), g(x), положив f(x₀) = g(x₀) = 0, тогда f(x), g(x) будут непрерывны в точке x₀, а потому теорема Лопиталя будет применима к ним.
Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в том случае, когда
.
Действительно, введя новую переменную y = 1/x, видим, что y → 0 при x → ∞. Тогда .

 

Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа )

Пусть функции f(x), g(x) дифференцируемы в окрестности точке x₀, за исключением самой точки x₀, причем g'(x)≠ 0, и пусть . Если существует , то существует .
Замечание 3. Предел отношения двух функций может существовать, в то время как предел отношения их производных не существует.
Например, – не существует, так как не существует.
Замечание 4. Если при x →x0 (x → ∞) является неопределенностью типа , и f '(x), g'(x) удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то

Таким образом, для раскрытия неопределенностей типа иногда приходится применять правило Лопиталя несколько раз.
Пример 2. Найти .
Решение. При x → 0 и x > 0 , следовательно, имеем отношение двух бесконечно больших при x → 0 и неопределенность типа . Вычислим:
.
Замечание 5. Теорема Лопиталя остается верной и тогда, когда .
Пример 3. Найти .
Решение. Имеем неопределенность типа . Применяя теорему Лопиталя два раза, получим: .
Можно показать, что для любого . Это означает, что показательная функция e^x растет быстрее любой степенной функции xⁿ.

Рассмотрим неопределенности других видов.

Если называют неопределенностью типа 0×∞, а – неопределенностью типа ∞⁰.
Если – неопределенность типа ∞ – ∞.

Аналогично понимаются и другие неопределенности. При раскрытии таких неопределенностей зачастую помогает способ сведения их к неопределенностям типа с последующим применением правила Лопиталя.

Пример 4. Найти .
Решение. Так как , то имеем неопределенность типа 0×∞. Преобразуем ее к виду: , затем применим правило Лопиталя,

 

Формула Тейлора.

Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.

Рассмотрим предварительно следующую задачу: данный многочлен P_n(x) степени n разложить по степеням разности (x – x₀) (где x₀ – некоторое число), т.е. представить P_n(x) в виде:

P_n(x) = a₀+ a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)²+...+ a_n(x – x₀)ⁿ. (2.19)

Вычислим коэффициенты: a₀, a₁,..., a_n. Для этого найдем сначала производные от Pn(x):

P'_n(x) = a₁+ 2a₂(x – x₀) + 3a₃(x – x₀)² +... + n×a_n(x – x₀)^n–1;
P''_n(x) = 2a₂+ 2×3a₃(x – x₀) + 3×4a₄(x – x₀)2+... + (n – 1) ×n×a_n(x – x₀)^n–2;
P'''_n(x) = 2×3×a₃+ 2×3×4a₄(x – x₀) +... + (n – 2)(n – 1)×n×a_n(x – x₀)^n–3;
...; P_n(n)(x) = 1×2×...× (n – 1)×n×a_n; P_n⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = 0. (2.20)

Полагая в равенствах (2.19), (2.20) x = x0, получим:

P_n(x₀) = a₀, (x₀) = a₁, (x₀) = 2a₂, P_n(n)(x₀) = 2×3a₃,..., Pn⁽ⁿ⁾(x₀) = 1×2×...(n – 1)×n×a_n,
откуда находим:
.
Подставляя найденные значения a₀, a₁,..., a_n в равенство (2.19), получим разложение многочлена P_n(x) по степеням (x – x₀):

Формула (2.21) называется формулой Тейлора для многочлена P_n(x) n-й степени.

Пусть функция f(x) имеет производные до (n + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, и число x₀ принадлежит этому промежутку.

Поставим задачу: найти многочлен n-й степени P_n(x), такой, чтобы значение P_n(x₀) совпадало с f(x₀), а значение всех производных для P_n(x) в точке x₀ (до n-го порядка) совпадало со значениями соответствующих производных для f(x) в точке x₀, т.е.
P_n(x₀) = f(x₀), P'_n(x₀) = f '(x₀), P''_n(x₀) = f'' (x₀),..., P_n⁽ⁿ⁾(x₀) = f ⁽ⁿ⁾(x₀).

Тогда по формуле (3) многочлен P_n(x) имеет вид:

Естественно ожидать, что многочлен P_n(x) будет в некотором смысле «близок» к функции f(x), по крайней мере, около точки x₀.
Обозначим: R_n(x) = f (x) – P_n(x), тогда f (x) = P_n(x) + R_n(x). Подставляя вместо P_n(x) его выражение (2.22), получим формулу:
которая называется формулой Тейлора для функции f(x), а R_n(x) называется остаточным членом.

Если для некоторого x остаточный член R_n(x) достаточно мал, то формула (2.23) дает приближенное значение для f(x): f(x)» Pn(x), при этом погрешность этого приближения равна: R_n(x). Для оценки R_n(x) применяются специальные формулы, одна из них называется формой Лагранжа и имеет вид:

где c – некоторое число, заключенное между x₀ и x. Число c можно представить в виде:
c = x₀ + θ(x – x₀), где θ – некоторое число, заключенное между 0 и 1, т.е. 0

Другая формула для R_n(x) называется формой Коши и имеет вид:

где θ удовлетворяет неравенству 0

Вообще говоря, значения θ в формулах (2.25) и (2.26) различные.

Заметим, что если в формулах Тейлора (2.23) положить n = 0 и остаточный член записать в форме Лагранжа (2.24), то получим формулу: f(x) = f(x₀) + f '(c)(x – x₀), откуда приходим к формуле Лагранжа: f(x) – f(x₀) = f '(c)(x – x₀). Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа (конечных приращений).

Если в формуле Тейлора (2.23) положить x₀ = 0, то получится формула, называемая формулой Маклорена:

где – остаточный член в форме Лагранжа (0

Рассмотрим применение формулы Тейлора. Найдем разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора, причем возьмем x₀ = 0 (т.е. найдем формулы Маклорена для этих функций).

1) f(x) = e^x

Так как f '(x) = e^x, f '' (x) = e^x,..., f (n)(x) = e^x и f(0) = 1, f '(0) = 1, f ''(0) =1,...,
f ⁽ⁿ⁾(0) = 1, то по формуле (2.27) получаем:

Если |x| ≤ 1, то при n = 8 получаем: .

Пример 1. Вычислить приближенно число e и оценить погрешность.

Решение. Ранее нами было введено число e как предел последовательности:
и установлено, что 2 < e < 3. Используя формулу (2.28), положив x = 1,
n = 8 имеем: , причем погрешность R₈(1) не превосходит 0,00001.

2) f (x) = sinx

Найдем производные до (n + 1)-го порядка для f(x) = sinx и их значения при x= 0:

Если n = 2m, m N, то f ^(2m)(0) = 0; при n = 2m + 1: f ^(2m+1)(0) = (–1)^m, поэтому

3) Аналогично для функции f(x) = cosx можно получить следующую формулу Маклорена:

В последних двух разложениях и потому R_n(x) по абсолютной величине не превосходит

Пример 2. Вычислить приближенно sin20⁰ с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся формулой (2.29), положив радиан и взяв 2 члена разложения:
Задания для самостоятельной работы.

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = cosx (формулу (2.30)).
Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = ln(1+ x).
Вычислить приближенно cos40⁰ и оценить погрешность вычисления, взяв два слагаемых в формуле (2.30).