Логическая и математическая символика

О КУРСЕ

Дисциплина «Математический анализ» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла ООП бакалавриата и направлена на получение студентами прочных теоретических знаний и твердых практических навыков в области математической подготовки будущих бакалавров. Такая подготовка необходима для успешного усвоения многих специальных дисциплин, читаемых для бакалавров по направлению подготовки «Экономика». Дисциплина является одной из важнейших теоретических и прикладных математических дисциплин, определяющих уровень профессиональной подготовки современного бакалавра в области управления различными социально-экономическими процессами.

Прочное усвоение современных математических методов позволит будущему специалисту в области экономики, бухгалтерского учета, банковского дела, налогов и налогообложения решать в своей повседневной деятельности актуальные практические задачи, понимать написанные на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки.

ЦЕЛЬ:

Целью изучения дисциплины «Математический анализ» является формирование научного мировоззрения у студентов, формирование математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения других общенаучных и специальных дисциплин, самостоятельного изучения специальной литературы, математического исследования прикладных вопросов, правильного истолкования и оценки получаемых результатов, а также формирование навыков самостоятельной работы.

Основной задачей изучения данной дисциплины является прочное усвоение студентами теоретических основ математического анализа, обучение использованию методов этой дисциплины в экономических исследованиях.

Задачи дисциплины:

понимание математики как особого способа познания мира, общности ее понятий и представлений;
понимание значения математических дисциплин, их месте в системе фундаментальных наук и роли в решении прикладных задач;
изучение фундаментальных разделов математики для дальнейшего их применения в профессиональной деятельности;
выработать у студентов навыки применения математического аппарата при исследовании различных экономических и управленческих задач;
развитие умения составить план решения и реализовать его, используя выбранные математические методы и модели;
развитие умения анализа и практической интерпретации полученных математических результатов;
выработка умения пользоваться справочными материалами и пособиями, самостоятельно расширяя математические знания, необходимые для решения прикладных задач.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ:

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: основы математического анализа, необходимые для решения экономических задач.
Уметь: применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач.
Владеть: навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач, методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.

 

МНОЖЕСТВА

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечно много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов, его называют пустым и обозначают символом Ø.

В математическом анализе чаще всего рассматриваются числовые множества, за некоторыми из них закреплены специальные обозначения. Так, множество всех натуральных чисел обозначаются через N и записывают так: N = {1,2,3,...}. Далее, через Z обозначают множество всех целых чисел, содержащее как натуральные числа, так и 0, и целые отрицательные числа; Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.

Рациональным называется число, которое можно представить в виде отношения двух целых чисел: . Множество всех рациональных чисел обозначается через Q. Символически определение множества рациональных чисел можно записать так: . Здесь знак заменяет слово «называется». Заметим, что множество можно задать перечислением элементов, а можно описанием свойств элементов (предикатом), как в последнем случае.

Известно, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью, конечной и бесконечной периодической. Например, рациональное число 5/6 представимо бесконечной периодической дробью 5/6 = 0,83333..., а число 3/8 = 0,375. В последнем случае можно считать десятичную дробь тоже бесконечной с числом 0 в периоде: 3/8 = 0,3750000.... Известно, что всякую периодическую бесконечную дробь можно обратить в обыкновенную дробь p/q.

Иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается через R. Иными словами, множество действительных чисел R – это множество всех бесконечных десятичных дробей.

Пусть M1, M₂ – некоторые множества. Если каждый элемент множества M₁ является элементом множества M₂, то говорят, что M₁ есть подмножество множества M₂ и обозначается M₁ M₂. Итак, M₁ M₂ тогда и только тогда, когда

Из определения числовых множеств можно заключить, что N Z, Z Q, Q R. Множество действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных (о которых мы сейчас говорить не будем), т.е. R C.

Часто рассматриваются подмножества действительных чисел (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] называемые, соответственно, интервалом, отрезком, полуинтервалом. Дадим символические определения этих множеств, а слово «называется» заменим на знак: .

Заметим, что на числовой оси каждое действительное число изображается определенной точкой и любая точка числовой оси задает некоторое число, поэтому [a, b] изображается множеством всех точек отрезка, вместе с концами a, b, в то время как (a, b) – множеством точек отрезка без концов a, b.

Объединение AUB, пересечение A∩B

Рассмотрим операции множеств A, B давая им символические определения:

Иногда рассматривается операция разности множеств A и B, это множество элементов A, не входящие в B. Обозначение: A\B. Таким образом, . В частном случае R\Q есть множество иррациональных чисел.

 

ФУНКЦИИ

Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией (однозначной) от x и пишут y = f(x) или y = y(x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f(x). Обозначим множество всех значений функции, т.е. {f(x)|x A}, через B.

Пример 1. Для функции область определения A = (–∞, –1] U [1, +∞), множество значений B = [0, +∞).

Пример 2.

Замечание. Иногда рассматривают многозначные функции, допуская, что каждому значению x A, соответствует одно или более одного значений y. Мы в дальнейшем под функцией будем понимать однозначную функцию.

Следующие функции называются основными элементарными:

1) степенная функция
2) показательная функция
3) логарифмическая функция
4) тригонометрические функции
5) обратные тригонометрические функции

Если y=f(x), z=g(y) - функции, то z=g(f(x)) сложная функция называется суперпозицией функций f и g.

Элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из конечного числа основных элементарных функций с помощью арифметических операций и операции суперпозиции.

Например, элементарной является функция В качестве примера неэлементарной функции укажем модуль действительного числа x

Способы задания функции

Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами (см. пример 2). В примерах 1, 2 функции заданы аналитически.

Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Такими являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Графический способ: в этом случае соответствие между значениями x и y задается с помощью графика.

Среди числовых функций особое место занимают функции с областью определения A = N. Пусть аргумент функции f(x) принимает только значения 1, 2, 3,....n,...
Обозначим f(1) = a₁, f(2) = a₂,..., f(n) = a_n,... Такую функцию называют последовательностью, a₁ – первый член,..., a_n– n-й член этой последовательности.

Рассмотрим свойства, которыми могут обладать (или не обладать) некоторые функции.

Функция f(x) называется возрастающей на множестве M (строго), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Символически это может быть записано так:

Функция f(x) называется убывающей (строго) на множестве M, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Символически:

Функция, убывающая или возрастающая на множестве M, называется монотонной на множестве M.
В качестве примера рассмотрим функцию y = x². На интервале (–∞, 0) это убывающая функция, а на интервале (0, + ∞) – возрастающая.

Функция f(x) называется ограниченной сверху на множестве M, если существует такое число k, что для любого значения x M f(x) < k.

Символически это может быть записано так:

Аналогично дается определение функции, ограниченной снизу.

Если функция ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной.

Так, функция ограничена снизу на множестве A (пример 1), а функция из примера 2 ограничена сверху на множестве R.

Функция f(x) называется четной, если и называется нечетной, если Например, функция y = x² является четной, а y = sinx – нечетной.
Функция f(x) называется периодической с периодом T (T ≠0), если

Известно, что все тригонометрические функции являются периодическими.

Введем важные понятия сложной и обратной функции.

Если переменная y является функцией от x, y = f(x); а x – функция от переменной t: x = φ(t), то y = f(φ(t)) является функцией от t и называется сложной функцией или функцией от функции.

Например, пусть y = x², x = sint, тогда функция y = (sint)² является сложной.

Пусть y = f(x) с областью определения A и множеством значений B такова, что для любого значения y B существует единственное значение x B, такое, что f(x) = y, тогда переменная x является функцией от y, обозначим x = φ(y). Эту функцию называют обратной для y = f(x). Для обратной функции x = φ(y) область определения B, а множество значений A. Иногда функцию, обратную к функции y = f(x), обозначают: x=f ^-1(y).

Например, для функции y = x² с областью определения [0, +∞) и таким же множеством значений обратной является функция:
В дальнейшем часто будет использоваться понятие абсолютной величины числа, а также понятие e – окрестности точки.

 

Абсолютной величиной числа a называется неотрицательное число, обозначаемое |a|, такое, что

 

Неравенство |x| < m (m > 0) равносильно двойному неравенству –m < x < m, неравенство |x – x0| < ε (ε > 0) равносильно x0 – ε < x< x0 + ε. Множество точек с таким свойством (рис. 1.1) является интервалом (x₀ – ε, x₀ + ε) и называется ε – окрестностьюточки x₀ (рис. 1.1).

ПРЕДЕЛЫ

Предел последовательности

Как отмечалось раньше, любая последовательность a₁, a₂,..., a_n,... есть функция натурального аргумента, a_n = f(n), n N. Определение предела последовательности почти дословно повторяет определение предела функции при x→+∞.

Число b называется пределом последовательности {a_n}, если для любого ε > 0 существует такое натуральное число n0, что для всех натуральных n, больших n0, выполняется неравенство: | a_n – b | < e. Обозначение: . Доказать самостоятельно, что

 

Предел функции при x→ –∞

Пусть функция y = f(x) определена на R или (–∞, a). Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к –∞ (x → –∞), если для любого положительного числа ε существует такое x₀, что для всех x, меньших x₀, выполняется неравенство:
| f(x) – b | < ε. Обозначение: .

Геометрически этот факт означает, что точки графика y = f(x) (рис. 1.5) приближаются как угодно близко к соответствующим точкам прямой y = b при движении x влево неограниченно и что по фиксированному ε > 0 найдется число x₀, такое, что для всех x, меньших x₀, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + ε, y = b – ε.

Доказать самостоятельно, что

Рассмотренные пределы объединяются общим названием «пределы на бесконечности». Не надо думать, что любая функция, определенная на R, имеет предел при x → +∞ или x → –∞. Например, sinx не существует, так как значения при неограниченном возрастании x периодически меняются от –1 до +1, не приближаясь ни к какому постоянному числу. Аналогично, не существует . Последовательность: a₁= 1, a₂ = 3, a₃= 5,..., an = 2n – 1,... также не имеет предела.

 

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (возможно, определена на R), но в самой точке x₀ функция f(x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (x → x₀), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x₀ достаточно близко. Обозначение: .

Пример 1. Функция определена во всех точках числовой оси, за исключением x₀ = 2. Найдем , для этого вычислим значения f(x) для x, близких к 2, и построим график: y = f(x). Заметим, что для x ≠ 2: .

 

 

x	1,6	1,7	1,8	1,9	2,1	2,2	2,3	2,4
y	3,2	3,4	3,6	3,8	4,2	4,4	4,6	4,8

 

График функции: совпадает с прямой: y = 2x для всех x ≠ 2
(рис. 1.6). Из таблицы и графика видим, что значения f(x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

 

Покажем, что Для этого убедимся, что | f(x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем: |, так как x ≠ 2.

Потребуем, чтобы , тогда из неравенства: . Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству: , выполняется неравенство .

Аналогично можно показать, что и, вообще, для любого (малого) положительного числа ε: (или, что то же самое, ). Обозначим

Дадим строгое определение предела функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (при стремлении x к x₀), если для любого положительного числа e найдется положительное число δ, такое, что для любого x ≠ x0 и удовлетворяющему неравенству: x0 – δ < x < x0 + δ, выполняется неравенство: | f(x) – b| < ε.

Символически означает:

Заметим, что условие: «x ≠ x0 и x0 – δ < x < x0 + δ» можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x0 |

Если f(x) = b, то на графике функции y = f(x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x₀ не далее, чем на δ, значения f(x) отличаются от b не более чем на ε.

Пример 2. Показать, что x = x₀.
В самом деле f(x) = x, поэтому для любого ε > 0: | f(x) – x₀ | x – x₀ |

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если , где a(x) – б.м. при x → a.

Теорема 2. Если функцию f(x) можно представить в виде: f (x) = b + a(x), где b – число, a(x) – б.м. функция при x → a, то .

Теорема 3. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если

Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т.е. если .
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
, где С – постоянное число.

Следствие 2. Если n – натуральное число, то .

Теорема 5. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если

Рассмотрим применение доказанных теорем при нахождении пределов.

Пример. Найти .
Решение. Найдем сначала предел числителя и знаменателя. По свойствам пределов . Аналогично, Используя теорему 5, получим:

Теорема 6. Если существует и f(x) ≥ 0 для всех x из области определения функции, то
Теорема 7. Если существуют, то

Теорема 8. (теорема о сжатой переменной). Если и
существует и равен b.

 

Первый замечательный предел

Рассмотрим функцию , аргумент x (как всегда в математическом анализе) выражается в радианах. При x = 0 функция не определена.
Теорема. (первый замечательный предел).
.
С помощью этого предела находятся многие другие пределы, содержащие тригонометрические функции.

Второй замечательный предел

Рассмотрим возрастающую последовательность: a₁,a₂,...,an,... Для нее a_n+1>a_n для любого натурального n. Если эта последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела, так как ее члены неограниченно возрастают. Если же возрастающая последовательность ограничена, то она имеет предел. Этот факт доказывается в полных курсах математического анализа [6], мы приведем лишь его полную формулировку.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Пусть функция f(x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности. Если существует , то функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, а x₀ называется точкой непрерывности функции f(x).

На языке логики равенство описывается формулой:

Используя понятия односторонних пределов, можно перефразировать определение так: функция называется непрерывной в точке x₀, если она определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности, если существуют и
Иногда приходится рассматривать непрерывность функции в точке x₀ справа или слева. Пусть функция определена в точке x₀ и некоторой ее левой полуокрестности.

Если , то говорят, что f(x) непрерывна в точке x₀ слева.

Аналогично определяется непрерывность справа.

Пример 1. Функция f(x) = x³ определена на R.

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x0 = 2.
Действительно, , значит, f(x) = x³ непрерывна в точке x₀ = 2.

Пример 2. .

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x₀ = 0:

.
Так как , то непрерывность функции f(x) в точке x₀ = 0 доказана.

Дадим определение точек разрыва.

Пусть f(x) определена в окрестности точки x₀, но может быть не определена в x₀.
Точка x₀ называется точкой разрыва для функции f(x), если в точке x0 функция f(x) не определена, или не существует, или .
Пример 3. Функция не определена в точке x₀ = 0, но определена в любой окрестности этой точки, поэтому x₀ = 0 является точкой разрыва для f(x).
Пример 4. Функция не определена в точке x₀ = 3, x₀ = 3 – точка разрыва для f(x).
Пример 5. Пусть E(x) = «целая часть числа x», т.е. E(x) равно наибольшему целому числу, не превосходящему x0. Так и т.д. График y = E(x) представлен на рис. 1.14.

Для x₀ = 2: E(2) = 2, .
Так как, то E(x) в точке x₀ = 2 имеет разрыв, как и в любой другой целочисленной точке. Различают точки разрыва первого рода и второго рода.
Точка разрыва x₀ для функции f(x) называется т очкой разрыва первого рода, если существуют (конечные) пределы: . В противном случае x₀ – точка разрыва второго рода. В примере 5 точка x₀ = 2 является точкой разрыва первого рода, так как существуют пределы. В примере 4 x₀ = 3 – точка разрыва второго рода, так как .

 

Точка x₀ разрыва первого рода, для которой , называется точкой устранимого разрыва. Такой является точка x₀ в примере

3. Если рассмотреть функцию , то φ(x) непрерывна в точке x0 = 0, так как . Доопределив функцию в точке x₀ = 0, мы устранили разрыв.

Рассмотрим операции над непрерывными функциями.

Теорема 1. Если функции f₁(x) и f₂(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x0. Если, кроме того, f₂(x₀) ≠0, то частное также непрерывно в точке x₀.
Теорема 2. Если функция u = φ(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = φ(x0), то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x₀.

Установим непрерывность некоторых элементарных функций:

1. Всякая постоянная функция y = C непрерывна в каждой точке x₀ R, так как .

2. Функция y = x непрерывна в любой точке x₀, так как . Тогда функция y = Cxⁿ, где n N, непрерывна на всей числовой оси, как произведение непрерывных функций.

3. Любой многочлен: y = a₀ + a₁x + a₂x² +...+ a_nxⁿ, непрерывен в каждой точке числовой оси, как сумма непрерывных функций.

4. Всякая рациональная дробь, являющаяся отношением двух многочленов , непрерывна во всех точках, в которых многочлен Q(x) не обращается в 0.

5. Функция y = sinx, y = cosx непрерывны в точке x₀ = 0, так как

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Если функция f(x) непрерывна в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что f(x) непрерывна на интервале (a, b).

Пример 6. Функция непрерывна на интервалах (–∞, 3) и (3, +∞), так как при x0≠ 3: .

 

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Решение

Если f ' (x₀) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x₀. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x₀ и ее непрерывностью в этой точке. Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство:

Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x_0, то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Если в точке x₀ функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.

Пример 2. Функция f(x) = | x | непрерывна в точке x₀ = 0, так как .
Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x₀:

не существует, т.е. f(x) не дифференцируема в точке x₀ = 0.

Рассмотрим геометрический смысл производной.

 

На рис. 2.1 изображен график непрерывной функции y = f (x). Точка M₀ на графике имеет координаты x₀, f(x₀), другая точка графика M – координаты x₀ + Δx, f(x₀ + Δx). Прямая M₀M является секущей для линии y = f(x), она наклонена к оси Ox под углом β. Пусть f '(x₀) существует, т.е. есть некоторое число. Из ΔM₀MА получаем: (известно, что tgβ – угловой коэффициент прямой M₀M). Если Δx → 0, то точка M движется по графику функции y = f(x), приближаясь к точке M₀, при этом секущая M₀M, поворачиваясь вокруг точки M₀, стремится занять предельное положение, т.е. совпасть с касательной M₀K, при этом β→α (α – угол между касательной M₀K и осью Ox), tgβ → tgα.

Таким образом, но tgα = k есть угловой коэффициент касательной M₀K.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x0 равен производной функции f(x) в точке x₀: f '(x₀) = k = tgα.

В этом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной M₀K имеет вид:

y – f (x₀) = f '(x₀)(x – x₀).

Переходим к рассмотрению механического смысла производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t.

Пусть в момент времени t₀ точка находилась в положении M₀ (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t₀. Рассмотрим другой момент времени t₀ + Δt. За время t₀ пройденный точкой путь равен: S₀ = f (t₀), за (t₀ + Δt) пройдено расстояние S = f(t₀ + Δt), и точка оказалась в положении M, тогда за время Δt пройден путь M₀M и он равен:
S – S₀ = f(t₀ + Δt) – f(t₀) = ΔS.

Средняя скорость V_ср за пpомежуток времени Δt равна: . Но средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени Δt. Скоростью в момент времени t₀ (обозначим V(t₀)) называется предел средней скорости V_ср при Δt → 0. Итак,

Вывод. Производная от пути S = f(t) в момент времени t₀ есть скорость в момент времени t₀.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция в точке x₀ имеет производную. По определению:
поэтому по свойствам предела (разд. 1.8) , где a – бесконечно малая при Δx → 0. Отсюда

Δy = f '(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

При Δx → 0 второе слагаемое в равенстве (2.7) является бесконечно малой высшего порядка, по сравнению с , поэтому Δy и f ' (x₀)×Δx – эквивалентные, бесконечно малые (при f '(x₀) ≠ 0).

Таким образом, приращение функции Δy состоит из двух слагаемых, из которых первое f '(x₀)×Δx является главной частью приращения Δy, линейной относительно Δx (при f '(x₀)≠ 0).

Дифференциалом функции f(x) в точке x₀ называется главная часть приращения функции и обозначается: dy или df (x₀). Следовательно,

df (x0) =f '(x0)×Δx. (2.8)

Пример 1. Найти дифференциал функции dy и приращение функции Δy для функции y = x² при:
1) произвольных x и Δ x; 2) x₀ = 20, Δx = 0,1.

Решение

1) Δy = (x + Δx)² – x² = x² + 2xΔx + (Δx)² – x² = 2xΔx + (Δx)², dy = 2xΔx.

2) Если x₀ = 20, Δx = 0,1, то Δy = 40×0,1 + (0,1)² = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Запишем равенство (2.7) в виде:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Приращение Δy отличается от дифференциала dy на бесконечно малую высшего порядка, по сравнению с Δx, поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством Δy ≈ dy, если Δx достаточно мало.

Учитывая, что Δy = f(x₀ + Δx) – f(x₀), получаем приближенную формулу:

f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + dy. (2.10)

Пример 2. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим:

Используя формулу (2.10), получим:

.

Значит, ≈ 2,025.

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала df(x₀) (рис. 2.6).

Проведем к графику функции y = f(x) касательную в точке M₀(x0, f(x₀)), пусть φ – угол между касательной KM0 и осью Ox, тогда f'(x₀) = tgφ. Из ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f '(x₀)×Δx = df(x₀). Но PN является приращением ординаты касательной при изменении x от x₀ до x₀ + Δx.

Следовательно, дифференциал функции f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной.

Найдем дифференциал функции
y = x. Так как (x)' = 1, то dx = 1×Δx = Δx. Будем считать, что дифференциал независимой переменной x равен ее приращению, т.е. dx = Δx.

Если x – произвольное число, то из равенства (2.8) получаем df(x) = f '(x)dx, откуда .
Таким образом, производная для функции y = f(x) равна отношению ее дифференциала к дифференциалу аргумента.

Рассмотрим свойства дифференциала функции.

Если u(x), v(x) – дифференцируемые функции, то справедливы следующие формулы:

Для доказательства этих формул используются формулы производных для суммы, произведения и частного функции. Докажем, например, формулу (2.12):

d(u×v) = (u×v)'Δx = (u×v' + u'×v)Δx = u×v'Δx + u'Δx×v = u×dv + v×du.