Использование математических методов в животноводстве и ветеринарии

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВЕТЕРИНАРНОЙ МЕДИЦИНЫ И БИОТЕХНОЛОГИИ имени К.И. СКРЯБИНА»

 

 

Федькина Т. В.

 

 

Использование математических методов в животноводстве и ветеринарии

 

 

Учебно – методическое пособие

 

Москва 2010

 

Федькина, Т. В. Использование математических методов в животноводстве и ветеринарии: учеб.-метод. пособие / Т. В. Федькина. – М.: ФГОУ ВПО МГАВМиБ им. К. И. Скрябина, 2010. – 93 с.

 

 

Пособие представляет собой учебно-методический комплекс, объединяющий теоретический материал, задачи и приложение MS Excel к биометрическим расчетам.

Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.

Рекомендовано для студентов квалификации «бакалавр» по направлениям подготовки: 020400 – «Биология», 111100 – «Зоотехния», 111900 – «Ветсанэкспертиза».

 

Рецензенты: Скрипниченко Г. Г., д. б. н., профессор (МГАВМиБ), Барашев В. П., к. ф. - м. н., доцент (МИРЭА).

 

Эксперт: Никишов А. А., к. с. - х. н., доцент (РУДН)

 

 

Утверждено на заседании учебно - методической комиссии

ветеринарно – биологического факультета ФГОУ ВПО МГАВМиБ

(протокол № 6 от 20 апреля 2010 г.)

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие…………………………………………………………………… 4

1. Элементы теории вероятностей…………………………………………… 5

1.1 Случайные величины. Вероятность случайного события……………. 5

1.2 Закон распределения дискретной случайной величины……………... 5

1.3 Интегральная функция распределения………………………………… 6

1.4 Дифференциальная функция распределения………………………….. 7

1.5 Равномерное распределение непрерывной случайной величины……. 8

1.6 Числовые характеристики случайных величин………………………... 9

1.7 Нормальный закон распределения вероятностей случайной величины.12

2. Элементы математической статистики……………………………………. 15

2.1 Предмет и задачи математической статистики………………………... 15

2.2 Генеральная и выборочная совокупности……………………………… 16

2.3 Графическое представление статистических рядов…………………… 17

2.4 Выборочные характеристики…………………………………………… 21

2.4.1 Средние величины………………………………………………… 21

2.4.2 Выборочные центральные моменты. Асимметрия и эксцесс…... 25

2.4.3 Показатели вариации……………………………………………… 27

2.4.4 Степень свободы…………………………………………………… 30

2.5 Статистические оценки параметров распределения………………….. 30

2.6 Функции и распределения в математической статистике……………. 33

2.6.1 Распределение хи-квадрат ()…………………………………… 33

2.6.2 Статистические гипотезы. Критерии согласия…………………... 35

2.6.3 Критерий согласия Пирсона…………………………………… 36

2.6.4 Распределение Стьюдента…………………………………………. 41

2.6.5 Распределение Фишера…………………………………………….. 43

2.7 Доверительные интервалы………………………………………………. 45

2.8 Элементы линейного регрессионного и корреляционного анализа…... 48

2.8.1 Элементы корреляционной зависимости. Коэффициент корреляции……………………………………………………………………. 48

2.8.2 Линейная регрессия. Коэффициенты регрессии…………………..53

2.9 Критерии достоверности выборочных показателей………………….. 55

2.10 Элементы дисперсионного анализа…………………………………… 60

2.10.1 Однофакторный дисперсионный анализ…………………………61

2.10.2 Двухфакторный дисперсионный анализ.……………………….. 65

3. MS Excel в статистике……. …………………………………………………69

3.1. Интервальный и дискретный вариационный ряд.

Графическое представление статистических рядов…………………… 70

3.2. Описательная статистика…………………………………………… 74

3.3. Корреляционный анализ ……………………………………………. 77

3.4. Дисперсионный анализ……………………………………………… 79

Приложения…………………………………………………………………….. 84

Литература……………………………………………………………………… 93

Предисловие

Курс теории вероятностей и математической статистики входит в цикл фундаментальных дисциплин, изучение которых является обязательным для студентов сельскохозяйственных учебных заведений.

Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей и математической статистики является животноводство. Развитие современного животноводства сопровождается накоплением большого количества информации по многим вопросам генетики, селекции, продуктивности, здоровья животных, поведенческих функций и т.д. В задачу науки входят классификация, упорядочение и систематизация этих данных, их научный анализ. Подобный подход позволяет формулировать практические предложения, способствующие ускорению развития тех или иных отраслей животноводства, совершенствовать и создавать новые перспективные отрасли, прогнозировать развитие того или иного направления. В ветеринарии, дополнительно к перечисленным возможностям, использование научного анализа позволяет теоретически моделировать течение болезни или действия лечебных факторов и разрабатывать методы профилактики и лечения животных. Все это обуславливает широкое внедрение в зооинженерную и ветеринарную практику математических методов, в том числе математической статистики.

Основные теоретические положения математической статистики базируются на теории вероятностей. Основное отличие математической статистики от теории вероятностей в том, что в математической статистике рассматриваются не только действия над законами распределения и числовыми характеристиками, но и приближенные методы отыскания этих законов и характеристик по результатам экспериментов.

Цель данного учебно - методического пособия – помочь изучающим теорию вероятностей и математическую статистику в усвоении необходимых теоретических знаний и приобретении практических навыков для квалифицированного использования статистической информации в целях принятия правильных решений в вопросах прогнозирования.

 

 

Выборочные характеристики

Средние величины

Для того, чтобы количественно охарактеризовать самые существенные свойства распределения, а также для того, чтобы можно было сравнить разные распределения, вычисляют средние показатели - выборочные числовые характеристики.

В статистике используются различные величины в зависимости от того, какие цели при анализе материала ставит исследователь. Понятием средней величины пользуемся в тех случаях, когда требуется определить средний надой по стаду, средний привес, средний прирост стада, средние клинические показатели деятельности сердца, лёгких, среднего состава крови и во многих других случаях.

Различают следующие виды средних величин: средняя арифметическая (), средняя геометрическая (), средняя квадратическая (), средняя гармоническая (), мода (М₀) и медиана Ме.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая бывает простой и взвешенной.

Возможны следующие случаи:

1. Результаты наблюдения не сведены в вариационный ряд или все частоты равны единице или одинаковы. Тогда вычисляют простую среднюю арифметическую

,

где х_i – значение признака

n – объём результатов (число наблюдений).

2. Частоты n_i отличны друг от друга, то есть значения признака х_i повторяются. В этом случае вычисляют среднюю арифметическую взвешенную (выборочную среднею)

3. Распределение интервальное. В этом случае вместо х_i берут середину интервалов

Основные свойства среднего: 1)выборочное среднее является той точкой, сумма отклонений наблюдений от которой равна 0; 2)сумма квадратов расстояний между наблюдаемыми значениями и их средним арифметическим является минимальным.

Медиана выборки (термин был впервые введен Гальтоном, 1882)

Медиана – это значение варианта, который делит ранжированный ряд на равные по числу вариант части.

4 7 12 8 9 5 7 13 15

Ме = 12 Ме =

Свойство: сумма абсолютных расстояний между точками выборки и медианой минимальна.

Если признак Х представлен интервально:

медианному интервалу соответствует первая накопленная частота превосходящая n/2.

,

где - нижняя граница медианного интервала

– шаг разбиения, ширина класса

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному интервалу

- абсолютная частота медианного интервала.

Модой (термин впервые введен Пирсоном,1894) называется вариант, имеющий наибольшую частоту.

Если распределение имеет несколько мод, то говорят, что оно мультимодально или многомодально (имеет два или более «пика»)

Мультимодальность распределения дает важную информацию о природе исследуемой переменной. Например, в социологических опросах, если переменная представляет собой предпочтения или отношение к чему-то, то мультимодальность может означать, что существует несколько определенно различных мнений. Мультимодальность так же служит индикатором того, что выборка не является однородной и наблюдения, возможно порождены двумя или более «наложенными» распределениями.

Класс с наибольшей частотой называется модальным.

Для определения моды интервальных рядов служит формула

,

где - нижняя граница модального интервала

– ширина класса

– абсолютная частота модального интервала

– абсолютная частота интервала, предшествующего модальному

– абсолютная частота интервала, следующего за модальным.

Пример: На основании многолетних клинических наблюдений, проводившихся в Сухумском питомнике обезьян, составлена следующая выборка, включающая 100 анализов на содержание кальция (мг %) в сыворотке крови низших обезьян (павианов-гамадрилов).В данном случае признак варьирует непрерывно в пределах от 9,0 до 14,7 мг %.

Задание: 1) составить интервальный вариационный ряд; 2) найти Мо, Ме;

3) построить график накопленных частот (кумуляту)

Решение. 1) Установим величину классового интервала:

 

Определим нижнюю границу первого класса:

Составим классовые интервалы:

 

Получилось 8 интервалов.

2) Строим вспомогательную таблицу и разносим все 100 вариаций по намеченным классовым интервалам.

 

Классы по уровню кальция в сыворотке крови, мг %	Срединные значения классов	Частоты	Накопленная частота
8,6-9,4	9,0			0,02
9,4-10,2	9,8			0,08
10,2-11,0	10,6			0,23
11,0-11,8	11,4			0,46
11,8-12,6	12,2			0,71
12,6-13,4	13,0			0,88
13,4-14,2	13,8			0,95
14,2-15,0	14,6
Сумма

 

Модальный интервал 11,8-12,6, т.к. ему соответствует наибольшая частота n=25. По формуле для моды интервального вариационного ряда имеем

Медианному интервалу соответствует первая накопленная частота, превосходящая (50). . Следовательно, медианный интервал 11,8-12,6. По формуле для медианы интервального вариационного ряда имеем

3) График накопленных частот

 

Степень свободы.

При рассмотрении понятия дисперсии и среднего квадратического отклонения мы столкнулись с величиной n-1, которая получила особое название – число степеней свободы. В дальнейшем мы будем обозначать эту величину буквой . Объясним подробнее его значение.

Рассмотрим некоторый вариационный ряд, в котором имеется n вариант. При известном значении средней выборочной этого ряда каждая отдельная варианта жестко связана с остальными n – 1 вариантами. То есть в данном случае имеется n – 1 степеней свободы. Так, например, если известно, что два кролика в сумме весят 7 кг, а один из них весит 3,5 кг, то вес второго уже точно определен весом первого, то есть имеется степеней свободы. Если известно, что 10 кроликов весят вместе 55 кг (т.е. выборочная средняя равна 5,5), то вес одного определяется весом девяти других, то есть имеется степеней свободы.

Оценка генеральной средней.

Теорема: Выборочная средняя повторной выборки есть несмещённая и состоятельная оценка генеральной средней , причем - дисперсия выборочной средней.

Выборочная средняя повторной выборки для нормально распределенной генеральной совокупности является эффективной оценкой генеральной средней

Определение: Среднее квадратическое отклонение выборочной средней называется стандартной ошибкой выборки

- стандартная ошибка выборки

Величину средней и её стандартную ошибку записывают так:

Ошибка средней арифметической может быть выражена в относительных величинах, т.е. в %. В этом случае её называют показателем точности и вычисляют по формуле:

 

 

Относительная ошибка выборки показывает, на сколько процентов выборочная оценка отклоняется от параметра генеральной совокупности.

Чем меньше величина , тем достовернее, надёжнее полученная средняя. Точность средней арифметической является приемлемой, если этот коэффициент не превышает 5%.

При выборке малого объема точечная оценка может разительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам.

По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Θ^* служит оценкой неизвестного параметра Θ.

Если δ > 0 и │Θ – Θ^*│< δ, то чем меньше δ, тем оценка точнее.

Т.о., положительное число δ характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка Θ^* удовлетворяет неравенству │Θ – Θ^*│< δ; можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ по Θ^* называют вероятность , с которой осуществляется неравенство │Θ – Θ^*│< δ

= 0,95; 0,99; 0,999.

Заменив неравенство │Θ – Θ^*│< δ равносильным ему двойным неравенством

Вероятность того, что интервал (Θ^* - δ; Θ^* + δ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Θ, равна .

Доверительным интервалом называется случайный интервал

(Θ^*- δ; Θ^*+ δ), в пределах которого с вероятностью находится неизвестный оцениваемый параметр.

Число называется доверительной вероятностью, уровнем доверия или надежностью оценки. Это значение задают заранее. Тогда, зная закон распределения случайной величины, можно найти доверительный интервал.

Число p(или ) называется уровнем значимости и показывает, с какой вероятностью заключение о надежности оценки ошибочно.

Его находят по формуле

.

Величина может иметь три значения: 0,95; 0,99; 0,999.

Соответственно p: 0,05; 0,01; 0,001.

Очевидно, что чем меньше p, тем точнее оценка.

На рис.16 показан геометрический смысл доверительной вероятности, уровня значимости и доверительного интервала. Длина доверительного интервала определяется % (значение доверительной вероятности, выраженной в процентах) площади под нормальной кривой выборочного распределения некоторой случайной величины. Уровень значимости соответствует той оставшейся части (в %) площади под нормально кривой, которая выходит за границы доверительного интервала.

 

 

Рис.16 Доверительный интервал, уровень значимости , доверительная вероятность для кривой нормального распределения.

Например, доверительная вероятность означает, что длина искомого доверительного интервала ограничивается 95% площади под кривой нормального распределения, т.е. полученная интервальная оценка справедлива для 95% членов генеральной совокупности. Оставшиеся 5% могут иметь отклонения от значений полученной оценки. С увеличением доверительной вероятности (уменьшением уровня значимости) увеличивается длина доверительного интервала.

Определение: наибольшее отклонение оценки от оцениваемого параметра в частности, выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли), которое возможно с заданной доверительной вероятностью , называется предельной ошибкой выборки

Ошибка является ошибкой репрезентативности (представительности) выборки. Она возникает только вследствие того, что исследуется не вся совокупность, а лишь часть её (выборка), отобранная случайно.

Прежде, чем перейти к интервальным оценкам параметров распределения, рассмотрим некоторые важные распределения случайной величины.

 

Распределение Стьюдента.

В биологических исследованиях нередко приходится встречаться с выборочными совокупностями, состоящими из очень ограниченного количества вариант или наблюдений. Возникает вопрос, каковы в этих случаях закономерности распределения выборочных средних арифметических. Ответ на него дал английским математик В. Госсет, который писал под псевдонимом Стьюдент. Поэтому полученное им распределение вероятностей получило название распределения Стьюдента.

Пусть - нормально распределенные независимые случайные величины с математическим ожиданием и дисперсией . Если и

то случайная переменна

(*)

распределена по закону Стьюдента с n-1 степенями свободы. Здесь

- оценка среднего квадратического отклонения выборочной средней. Легко видеть, что переменная Т принципиально сходна с формулой нормированного отклонения выборочной средней от генеральной при нормальном распределении для больших выборок:

Распределение Т отличается только при малом объеме выборки. Так как , с увеличением числа n получаем равенство и разница между распределением Т и нормальным практически исчезает.

В общем случае случайная величина Т определяется как

(**)

где Z – нормальная случайная величина, причем M(Z)=0, а V – независимая от Z величина, которая распределена по закону с степенями свободы. Величина Т распределена по закону Стьюдента с степенями свободы. Ее возможные значения обозначают через t. Поэтому распределение Стьюдента иногда называют t- распределением.

Покажем, что случайная величина (*) представляет собой частный случай случайной величины Т, распределенной по закону Стьюдента. Представим выражение (*) в следующем виде:

Величина имеет нормальное распределение, величина распределена по закону и степенями свободы. Таким образом, мы получили случайную величину (**).

Распределение Стьюдента зависит только от числа степеней свободы . С ростом числа степеней свободы распределение Стьюдента приближается к нормальному, и уже при практически не отличается от него. На рис. 18 на фоне нормального распределения показаны кривые распределения Стьюдента при различных степенях свободы.

Математическое ожидание М(Т) распределения Стьюдента при равно 0, дисперсия при равна .

Для практического использования t – распределения были составлены рабочие таблицы, по которым можно определять критические значения , соответствующие данной доверительной вероятности и числу степеней свободы (см. приложение 5), для которой выполняется условие (вероятность того, что случайная величина t по абсолютной величине меньше критического значения равна доверительной вероятности ). Значение определяет границу двусторонней критической области - . Так, например, если выборка включает 15 наблюдений (число степеней свободы k=n-1=14) и по условиям опыта требуется доверительная вероятность 0,95 (уровень значимости 0,05), то величина t должна быть менее 2,14 и более -2,14. На рис. 19 показан графический смысл этих величин.

Замечание. Следует иметь в виду, что в случае односторонней критической области значения уровня значимости , указанные в верхней части таблицы, должны быть вдвое меньше.

 

Рис. 18. Распределение Стьюдента в зависимости от числа свободы k;

сравнение со стандартизованным нормальным распределением.

 

 

Рис. 19.95% доверительная вероятность и 5% уровень значимости для распределения Стьюдента.

 

Распределение Фишера.

Во многих задачах математической статистики, в особенности в дисперсионном анализе, важную роль играет распределение Фишера

(F-распределение), названное так по фамилии известного английского математика Р.А. Фишера (1925 г.)

Если U и V независимые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы и , то величина

(*)

распределена по закону Фишера со степенями свободы и . Принимают, что U >V, так что переменная F принимает значения не меньшие 1.

На практике часто применяется случайная величина

), (**)

Распределенная по закону Стьюдента с числом степеней свободы (для большей дисперсии) и (для меньшей дисперсии). Здесь

.

Покажем, что случайная величина (**) представляет собой частный случай случайной величины (*). Перепишем (**) в виде

.

Случайные переменные и распределены по закону со степенями свободы и . Таким образом мы получили выражение (*).

Величина F имеет непрерывную функцию распределения и зависит только от чисел степеней свободы и . Функция распределения величины F при небольшом объеме выборки n приближается к кривой нормального распределения.

Наиболее часто функция F распределения табулирована для 5% (доверительная вероятность 0,95) и 1% (доверительная вероятность 0,99) уровней значимости и чисел степеней свободы для большей дисперсии и для меньшей дисперсии (см. приложение 2). На практике, в зависимости от поставленной задачи, при одном и том же значении доверительной вероятности используют распределение Фишера с односторонней (рис. 20) и двухсторонней (рис. 21) критическими областями. Для односторонней критической области по таблицам определяют критическое значение F_kp, соответствующее выбранному уровню значимости при степенях свободы и , для которого выполняется условие . В случае двухсторонней критической области критическим значением и соответствует вероятности и . На практике при двухсторонней критической области ограничиваются определением величины , для уровня значимости вдвое меньше заданного - .

 

 

 

Рис. 20. Функция распределения Рис. 21. Функция распределения

Фишера с односторонней Фишера с двухсторонней

критической областью. критической областью.

 

Рассмотрим подробнее построение критических областей распределения Фишера. При использовании случайной величины F в качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай: Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят одностороннюю, а именно правостороннюю, критическую область (рис. 20) исходя из требования, чтобы вероятность попадания величины F в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости р. Тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством . Значение находят по заданному уровню значимости при степенях свободы и .

Второй случай: Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят двухстороннюю критическую область (рис.21) исходя из требования, чтобы вероятность попадания величины F в каждый из двух интервалов критической области, в предположении справедливости конкурирующей гипотезы, была равна . Тогда критическая область определяется: , ; область принятия нулевой гипотезы: .

Доверительные интервалы

Доверительные интервалы находят по различным формулам, в зависимости от исходных данных.

Уравнение прямой регрессии.

Статистическую зависимость Y от X описывают с помощью уравнения вида

где - условное математическое ожидание величины Y, соответствующее данному значению х; х – отдельные значения величины Х; - некоторая функция. Это уравнение называется уравнением регрессии Y на Х.

Обратную статистическую зависимость можно описать уравнением регрессии X на Y:

где - условное математическое ожидание величины Х, соответствующее данному значению y случайной величины Y; - некоторая функция.

Функции и называют соответственно регрессиями Y на X и X на Y, а их графики – линиями регрессии Y на Х и X на Y. Уравнения регрессии выражают математическое ожидание случайной величины Y (или X) для случая, когда другая переменная принимает определенное число.

В зависимости от вида уравнений регрессии и формы соответствующих линий регрессии говорят о различной форме статистической зависимости между изучаемыми величинами – линейной, квадратичной, показательной и т.д.

Если функции , линейные, т.е. уравнения регрессии можно представить в виде:

,

где A,B,C,D – некоторые параметры, то описываемые этими уравнениями зависимости Y от X и X от Y называются линейными; линии регрессии при этом – прямые. Если линия регрессии не является прямой, то такую зависимость называют нелинейной.

Как уже было сказано выше, возможности практического применения статистической зависимости весьма ограниченны. Поэтому для характеристики формы связи между двумя случайными величинами, полученными в результате выборочных наблюдений, используют корреляционную зависимость (или ). Уравнения, описываемые подобной зависимостью, называют выборочными уравнениями регрессии.

Если функции , линейные, то выборочные уравнения линейной регрессии Y на Xи X на Y можно представить в виде:

,

где и - условные средние значения величин Y и X, параметры b и d - оценки B и D, и - выборочные оценки коэффициентов A и C.

Угловые коэффициенты и линий регрессии носят названия выборочных коэффициентов регрессии Y на X и X на Y соответственно. Они определяются как:

; ,

где