Пределы функции на бесконечности

Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.

Предел функции при x → +∞

Пусть функция y = f(x) определена на множестве всех действительных чисел R или на бесконечном интервале (a, +∞).
Число b называют пределом функции f(x) при стремлении x к +∞ (x→ +∞), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при достаточно больших x.

Обозначение: .

Пример 1. Функция определена на интервале (0, +∞). Составим таблицу ее некоторых значений и построим ее график (рис. 1.2):

x	1/2	1	3/2	2	5	10	20
y	4	3	2 2/3	2,5	2,2	2,1	2,05

Из таблицы видно, что значения функции приближаются к числу 2 с увеличением x.

Убедимся, что .

Разность показывает, на сколько отличается f(x) от 2. Так, если x равно 10, то f(x) отличается от 2 на 1/10, а если x = 100, то f(x) – 2 = 1/100. Разность f(x) – 2 может стать меньше любого заданного положительного числа ε, если x взять достаточно большим. Например, ε = 1/1000. Чтобы определить, для каких значений x выполняется неравенство f(x) – 2 < 1/1000, надо решить это неравенство: , отсюда x > 1000.

Пусть ε – произвольное (малое) положительное число, тогда найдется такое x0, что f(x) – 2 x > x0. Действительно, . Обозначив , получаем, что для всех x, если x > x0, то f(x) – 2 < ε. Итак мы показали, что .
Пример 2. Функция определена на (–2, +∞). Выпишем таблицу ее некоторых значений и построим график (рис. 1.3).

 

Из таблицы значений и графика (рис. 1.3) видим, что с ростом x значения f(x) приближаются к 1, оставаясь меньше 1.

Покажем, что . Разность f(x) – 1 отрицательна, поэтому вычислим ее абсолютную величину:

Покажем, что |f(x) – 1| может стать меньше любого заданного положительного числа ε при достаточно больших x. Для этого решим неравенство , получим: Обозначим: . Таким образом, если x > x₀, то | f(x) – 1| < ε. Например, возьмем в качестве ε число 0,01, тогда: Этим мы показали, что (рис. 1.3).

Дадим строгое определение предела функции при x→ +∞.

Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к +∞, если для любого положительного числа e найдется такое число x₀, что для всех x, больших x₀, выполняется неравенство: f(x) – b |

Геометрическая интерпретация этого определения приведена на рис. 1.4. В логических символах это определение выглядит так:

Пример 3. Доказать, что
Доказательство: . Зафиксируем произвольное ε > 0, покажем, что найдется такое x0, что для всех x, больших x0: | f(x) – 0 | < e. Действительно,

Обозначим: , тогда при x > x0: |f(x) – 0 | < ε, значит, .

Пусть для некоторой функции , геометрически это означает, что точки графика y = f(x) приближаются к точкам прямой y = b (с той же абсциссой) при неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что прямая y = b является асимптотой графика y = f(x) при x→ +∞.Неравенство: | f(x) – b | b – ε < f(x) < b + ε.

Из определения предела следует, что по произвольному ε > 0 найдется такое x₀, что для всех x, больших x₀, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + ε, y = b – ε.

 

Предел последовательности

Как отмечалось раньше, любая последовательность a₁, a₂,..., a_n,... есть функция натурального аргумента, a_n = f(n), n N. Определение предела последовательности почти дословно повторяет определение предела функции при x→+∞.

Число b называется пределом последовательности {a_n}, если для любого ε > 0 существует такое натуральное число n0, что для всех натуральных n, больших n0, выполняется неравенство: | a_n – b | < e. Обозначение: . Доказать самостоятельно, что

 

Предел функции при x→ –∞

Пусть функция y = f(x) определена на R или (–∞, a). Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к –∞ (x → –∞), если для любого положительного числа ε существует такое x₀, что для всех x, меньших x₀, выполняется неравенство:
| f(x) – b | < ε. Обозначение: .

Геометрически этот факт означает, что точки графика y = f(x) (рис. 1.5) приближаются как угодно близко к соответствующим точкам прямой y = b при движении x влево неограниченно и что по фиксированному ε > 0 найдется число x₀, такое, что для всех x, меньших x₀, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + ε, y = b – ε.

Доказать самостоятельно, что

Рассмотренные пределы объединяются общим названием «пределы на бесконечности». Не надо думать, что любая функция, определенная на R, имеет предел при x → +∞ или x → –∞. Например, sinx не существует, так как значения при неограниченном возрастании x периодически меняются от –1 до +1, не приближаясь ни к какому постоянному числу. Аналогично, не существует . Последовательность: a₁= 1, a₂ = 3, a₃= 5,..., an = 2n – 1,... также не имеет предела.

 

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (возможно, определена на R), но в самой точке x₀ функция f(x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (x → x₀), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x₀ достаточно близко. Обозначение: .

Пример 1. Функция определена во всех точках числовой оси, за исключением x₀ = 2. Найдем , для этого вычислим значения f(x) для x, близких к 2, и построим график: y = f(x). Заметим, что для x ≠ 2: .

 

 

x	1,6	1,7	1,8	1,9	2,1	2,2	2,3	2,4
y	3,2	3,4	3,6	3,8	4,2	4,4	4,6	4,8

 

График функции: совпадает с прямой: y = 2x для всех x ≠ 2
(рис. 1.6). Из таблицы и графика видим, что значения f(x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

 

Покажем, что Для этого убедимся, что | f(x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем: |, так как x ≠ 2.

Потребуем, чтобы , тогда из неравенства: . Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству: , выполняется неравенство .

Аналогично можно показать, что и, вообще, для любого (малого) положительного числа ε: (или, что то же самое, ). Обозначим

Дадим строгое определение предела функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (при стремлении x к x₀), если для любого положительного числа e найдется положительное число δ, такое, что для любого x ≠ x0 и удовлетворяющему неравенству: x0 – δ < x < x0 + δ, выполняется неравенство: | f(x) – b| < ε.

Символически означает:

Заметим, что условие: «x ≠ x0 и x0 – δ < x < x0 + δ» можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x0 |

Если f(x) = b, то на графике функции y = f(x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x₀ не далее, чем на δ, значения f(x) отличаются от b не более чем на ε.

Пример 2. Показать, что x = x₀.
В самом деле f(x) = x, поэтому для любого ε > 0: | f(x) – x₀ | x – x₀ |