Понятие производной, её геометрический и механический смысл 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Понятие производной, её геометрический и механический смысл



Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через Δx и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через Δy и назовем приращением функции.

Итак, Δx = x – x0, Δy = f(x) – f(x0). Из равенства Δx = x – x0 получаем равенство
x = x0 + Δx, тогда Δy = f(x0 + Δx) – f(x0).

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается f ' (x0).

Итак,

Пример 1. Найти производную для функции f(x) = x2 в точке x0 = 3.

Решение


Если f ' (x0) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x0. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x0 и ее непрерывностью в этой точке. Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство:

Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:


Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Если в точке x0 функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.

Пример 2. Функция f(x) = | x | непрерывна в точке x0 = 0, так как .
Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x0:

не существует, т.е. f(x) не дифференцируема в точке x0 = 0.

Рассмотрим геометрический смысл производной.

 

На рис. 2.1 изображен график непрерывной функции y = f (x). Точка M0 на графике имеет координаты x0, f(x0), другая точка графика M – координаты x0 + Δx, f(x0 + Δx). Прямая M0M является секущей для линии y = f(x), она наклонена к оси Ox под углом β. Пусть f '(x0) существует, т.е. есть некоторое число. Из ΔM0MА получаем: (известно, что tgβ – угловой коэффициент прямой M0M). Если Δx → 0, то точка M движется по графику функции y = f(x), приближаясь к точке M0, при этом секущая M0M, поворачиваясь вокруг точки M0, стремится занять предельное положение, т.е. совпасть с касательной M0K, при этом β→α (α – угол между касательной M0K и осью Ox), tgβ → tgα.

Таким образом, но tgα = k есть угловой коэффициент касательной M0K.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x0 равен производной функции f(x) в точке x0: f '(x0) = k = tgα.

В этом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной M0K имеет вид:

y – f (x0) = f '(x0)(x – x0).

Переходим к рассмотрению механического смысла производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t.

Пусть в момент времени t0 точка находилась в положении M0 (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t0. Рассмотрим другой момент времени t0 + Δt. За время t0 пройденный точкой путь равен: S0 = f (t0), за (t0 + Δt) пройдено расстояние S = f(t0 + Δt), и точка оказалась в положении M, тогда за время Δt пройден путь M0M и он равен:
S – S0 = f(t0 + Δt) – f(t0) = ΔS.

Средняя скорость Vср за пpомежуток времени Δt равна: . Но средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени Δt. Скоростью в момент времени t0 (обозначим V(t0)) называется предел средней скорости Vср при Δt → 0. Итак,

Вывод. Производная от пути S = f(t) в момент времени t0 есть скорость в момент времени t0.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 376; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.193.208.105 (0.004 с.)