Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие производной, её геометрический и механический смысл
Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через Δx и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через Δy и назовем приращением функции. Итак, Δx = x – x0, Δy = f(x) – f(x0). Из равенства Δx = x – x0 получаем равенство Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная обозначается f ' (x0). Итак, Пример 1. Найти производную для функции f(x) = x2 в точке x0 = 3. Решение Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:
Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Замечание. Если в точке x0 функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером. Пример 2. Функция f(x) = | x | непрерывна в точке x0 = 0, так как . Рассмотрим геометрический смысл производной.
На рис. 2.1 изображен график непрерывной функции y = f (x). Точка M0 на графике имеет координаты x0, f(x0), другая точка графика M – координаты x0 + Δx, f(x0 + Δx). Прямая M0M является секущей для линии y = f(x), она наклонена к оси Ox под углом β. Пусть f '(x0) существует, т.е. есть некоторое число. Из ΔM0MА получаем: (известно, что tgβ – угловой коэффициент прямой M0M). Если Δx → 0, то точка M движется по графику функции y = f(x), приближаясь к точке M0, при этом секущая M0M, поворачиваясь вокруг точки M0, стремится занять предельное положение, т.е. совпасть с касательной M0K, при этом β→α (α – угол между касательной M0K и осью Ox), tgβ → tgα.
Таким образом, но tgα = k есть угловой коэффициент касательной M0K. Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x0 равен производной функции f(x) в точке x0: f '(x0) = k = tgα. В этом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной M0K имеет вид: y – f (x0) = f '(x0)(x – x0). Переходим к рассмотрению механического смысла производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t. Пусть в момент времени t0 точка находилась в положении M0 (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t0. Рассмотрим другой момент времени t0 + Δt. За время t0 пройденный точкой путь равен: S0 = f (t0), за (t0 + Δt) пройдено расстояние S = f(t0 + Δt), и точка оказалась в положении M, тогда за время Δt пройден путь M0M и он равен: Средняя скорость Vср за пpомежуток времени Δt равна: . Но средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени Δt. Скоростью в момент времени t0 (обозначим V(t0)) называется предел средней скорости Vср при Δt → 0. Итак, Вывод. Производная от пути S = f(t) в момент времени t0 есть скорость в момент времени t0.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 376; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.193.208.105 (0.004 с.) |