Математические модели объектов проектирования

В зависимости от сложности объекта проектирования его моделирование можно проводить на том или ином уровне абстракции. В САПР обычно выделяют три таких уровня: микро, макро и метауровни. Каждый из этих уровней отличается различной степенью детализации рассмотрения процессов, протекающих в объекте проектирования.

6.2.1. Построение модели на микроуровне

На микроуровне при описании объекта проектирования фигурируют фазовые переменные, характеризующие физические процессы, протекающие в этом объекте в сплошных средах и непрерывном времени. Примерами таких процессов могут быть поля напряжений и деформации в механических конструкциях, электрические потенциалы в электронных приборах, температура давление в рабочей полости турбины и т.п.

Типичными математическими моделями на этом уровне являются системы дифференциальных уравнений в частных производных с заданными краевыми условиями. Краевые условия — это совокупность граничных и начальных условий для исследуемых непрерывных функций. Граничные условия выражают сведения о непрерывных функциях на границах области их определения, а начальные — задают значения этих же функций в начальный момент времени. Примером модели на микроуровне может служить уравнение теплопроводности:

,

где T — температура тела;

l _X, l _Y — коэффициенты теплопроводности тела по координатам x и y соответственно;

— источник теплоты внутри тела.

Граничное условие можно задать в виде

.

Это уравнение показывает, что на границе тела задан поток V теплоты.

Одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР является метод конечных элементов. Это численный метод, суть которого состоит в разбиении области определения искомой непрерывной функции на отдельные подобласти — конечные элементы. Для каждого элемента выбирается определенное количество узловых точек (узлов) и принимается, что каждый конечный элемент взаимодействует с соседними элементами только в выбранных узлах. В пределах каждого конечного элемента вводится аппроксимирующая функция, которая определяется через значение искомой непрерывной функции в узловых точках.

Совокупность аппроксимирующих функций, определенных на множестве конечных элементов, составляет модель искомой непрерывной функции.

Совокупность значений искомой непрерывной функции в узлах, или вектор узловых значений, в общем случае вначале неизвестен. Его определение является наиболее сложной задачей в методе конечных элементов.

Алгоритм метода конечных элементов в общем случае состоит из следующих этапов:

Этап 1. Разбиение заданной области определения непрерывной функции на некоторое количество конечных элементов

Этап 2. Определение для каждого –го элемента аппроксимирующей функции в виде полинома

, (1)

где — вектор–строка коэффициента полинома;

— свободный член;

R = (x, y, z) — вектор координат в рассматриваемой точке –го элемента.

В зависимости от степени полинома конечные элементы делятся на симплекс–, комплекс– и мультиплекс- элементы. Полиномы симплекс–элементов содержат константы и линейные члены. Полиномы комплекс–элементов содержат также члены более высоких степеней. Полиномы мультиплекс-элементов также содержат члены более высоких степеней, однако границы конечного элемента должны быть параллельны осям координат.

Неизвестные вектор–строку коэффициентов полинома и свободный член определяют исходя из условия непрерывности функции и её значений в узлах с известными координатами (узловые значения функции).

В методе конечных элементов функцию обычно представляют не в виде (2.6), а в матричном виде

(2)

где — вектор–столбец узловых значений функции в заданных координатах узлов –го конечного элемента;

— матрица–строка, элементы которой называют функциями формы –го конечного элемента. Функции формы вычисляются в каждой точке конечного элемента через координаты самой этой точки и координаты узлов данного элемента.

Рассмотрим следующий простой пример. Пусть в качестве аппроксимирующей функции –го взята линейная функция вида

(3)

Такой конечный элемент называется одномерным симплекс-элементом.

Коэффициенты и определяют через узловые значения функции и в соответствии с условием непрерывности, т.е.

(4)

Графически это можно представить следующим образом (рис.1).

 

Рисунок 1

 

Подставив выражение (4) в выражение (3), получим:

(5)

Решая систему уравнений (5) относительно и , получим, полагая, что :

. (6)

Подставив выражения (6) в выражение (3), получим:

(7)

Члены в уравнении (7), заключенные в квадратные скобки, являются функциями формы одномерного симплекс-элемента, т.е.

= (8)

С учетом введенных обозначений (8) уравнение (7) принимает следующий вид:

. (9)

В матричной форме выражение (9) запишется в следующем виде

(10)

где – матрица-строка, элементами которой являются функции форму, а – вектор-столбец узловых значений аппроксимируемой функции. Выражение (10) совпадает с выражением (2).

Аналогично, можно построить функции формы для двумерного симплекс-элемента, который представляет собой плоский треугольник с прямолинейными сторонами (см рис 2).

Информационный полином, аппроксимирующий непрерывную функцию внутри треугольного симплекс-элемента, имеет вид:

.

Проделав аналогичные преобразования, можно получить следующие выражения:

Рисунок 2

 

где

= ;

Этап 3. Составление ансамбля конечных элементов, т.е. объединение аппроксимирующих функций элементов в общую модель искомой непрерывной функции. При этом получают систему алгебраических уравнений:

j = NФ. (11)

Эта система является моделью искомой непрерывной функцией исследуемого объекта.

Рассмотрим следующий пример. Пусть рассматриваемый объект состоит из 4-х конечных элементов, т.е. причем каждый элемент описывается аппроксимирующей функцией вида (9). Можно написать следующее соответствие между произвольными номерами и в выражении (9):

Элемент

(12)

Подставив значения номеров узлов из выражений (12) в формулу (9), получим следующую систему алгебраических уравнений вида (11):

(13)

В выражениях для функций формы элемента (8) значения произвольных номеров также следует изменить в соответствии с выражениями (12). Так, например,

Этап 4. Определение вектора узловых значений искомой непрерывной функции. В общем случае вектор Ф в (11) вначале неизвестен. Его определение — наиболее сложная процедура в методе конечных элементов.

Разработано несколько алгоритмов вычисления вектора Ф. Один из алгоритмов основан на минимизации функционала, связанного с физическим смыслом решаемой задачи. Алгоритм состоит из 4 шагов.

Шаг 1. Выбор функционала F, зависящего для стационарных задач от искомой функции j и её частных производных _x, _y, _z, по вектору пространственных координат:

F = f (j, _x, _y, _z) dV, (14)

где V — объём тела.

Функционал F представляют в виде суммы соответствующих функционалов, относящихся к отдельным конечным элементам:

F = F ⁽⁾ = f (j ⁽⁾, ⁽⁾ _x, ⁽⁾ _y, ⁽⁾ _z) dV ⁽⁾, (15)

где L — число элементов.

Шаг 2. Подстановка аппроксимирующего выражения (10) в (15) и вычисление производных ⁽⁾ _x, ⁽⁾ _y, ⁽⁾ _z по формулам вида

. (16)

Шаг 3. Минимизация по вектору Ф функционала F. Для этого составляется уравнение

. (17)

Суммирование выражений (17) по конечным элементам приводит к

системе алгебраических уравнений вида

KФ + B = 0, (18)

где K — матрица жесткости, Ф — неизвестный вектор узловых значений искомой непрерывной функции; B — вектор нагрузки.

Шаг 4. Решение системы (18), позволяющее определить неизвестный вектор узловых значений Ф. Найденные значения вектора Ф подставляют в формулу (11), после чего значения функции j легко вычисляются в любой точке заданной области.

В практических задачах для достижения приемлемой точности решения исследуемый объект разбивается на несколько десятков тысяч элементов с примерно таким же количеством узлов. Поэтому система (18) имеет очень большую размерность.

При использовании метода конечных элементов в САПР предварительно вручную проделывают этапы 2 и 4 приведенного алгоритма для конечных элементов установленного типа. В результате для каждого –го типа конечного элемента, относящегося к определенной физической задаче, получают его модель в форме

K ⁽⁾ Ф ⁽⁾ + B ⁽⁾ = 0, (19)

где K ⁽⁾, Ф ⁽⁾, B ⁽⁾— соответственно матрица жесткости, вектор узловых значений и вектор нагрузки –го элемента.

Полученные для = 1,…, L модели элементов заносят в библиотеку моделей САПР. После этого для анализа проектируемого объекта на микроуровне пользователю требуется только задать геометрию и физические свойства объекта и указать типы конечных элементов из числа имеющихся в библиотеке. В ответ на это ЭВМ обеспечивает выполнение следующих операций:

1. Разбиение исследуемого объекта на конечные элементы заданного типа.

2. Построение разрешающей системы уравнений (18) путём объединения моделей отдельных конечных элементов.

3. Решение полученной системы уравнений, т.е. вычисление вектора узловых значений искомой непрерывной функции.

Найденный вектор узловых значений является приближенным решением исходной краевой задачи.

6.2.2. Построение моделей на макроуровне

В описании проектируемых объектов на макроуровне характерной особенностью является рассмотрение физических процессов, протекающих в непрерывном времени, но дискретизированном пространстве. На этом уровне в качестве элементов при проектировании объектов машиностроения фигурируют сборочные единицы — детали и узлы. В радиоэлектронике на макроуровне рассматриваются радиоэлектронные схемы, состоящие из таких элементов, как транзисторы, резисторы, конденсаторы, индуктивности, источники тока и напряжения.

Типичными математическими моделями на этом уровне являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производ­ными и системы алгебраических уравнений в тех случаях, когда анализируются статические состояния объекта или его частотные характеристики. При этом на макроуровне математическая модель объекта проектирования служит для отображения только тех его свойств, которые характеризуют взаимодействие элементов в составе исследуемой системы.

Сама математическая модель проектируемого объекта состоит из совокупности трех типов уравнений: 1) компонентных, 2) топологических и 3) уравнений, не­обходимых для получения численного решения полученной системы уравнений.

Каждое компонентное уравнение описывает процессы определенной физической природы, проходящие в том или ином отдельно рассматриваемом однородное элементе моделируемого объекта. К таким процессам можно отнести механические процессы, электрические, тепловые, гидравлические и т.п. При построении таких компонентных уравнений часто прибегают к методу аналогии, когда строят соответствующие эквивалентные схемы. Такие схемы позволяют выявить те свойства ре­ального объекта, которые, по мнению проектировщика, оказывают самое сущест­венное влияние на функционирование проектируемого объекта или системы.

В физически однородных элементах различают элементы емкостного, ин­дуктивного и резисторного типов. Соответствующие им математические модели имеют следующий вид: где С, L, R – параметры элементов, физический смысл которых можно пояснить следующей таблицей (см. таблица 1).

Таблица соответствий 1

 

	Фазовая переменная	Параметры простых элементов
Подсистема	Типа потенциала	Типа потока	С	L	R
Механическая	Угловая	Вращательный	Момент	Вращатель-	Вращатель-
вращательная	скорость	момент	инерции	ная гиб­кость	ное сопро­тивление
Электрическая	Электриче-	Электрический	Электри-	Электриче-	Электричес-
	ское напря-	ток	ческая	ская индук-	кое сопро-
	жение		емкость	тивность	тивление
Тепловая	Температура	Тепловой по­ток	Тепло­емкость		Тепловое сопротив­ление
Гидравлическая	Давление	Расход	Гидрав-	Гидравлическая	Гидравличе-
пневматическая			лическая емкость	индук­тивность	ское сопро­тивление

 

Наряду с компонентными уравнениями в математическую модель системы обязательно входят уравнения, отражающие способ связи элементов системы меж­ду собой. Они называются топологическими уравнениями. Топологические урав­нения выражают законы сохранения, условия неразрывности, равновесия и т.п.

Особенностью топологических уравнений является то, что каждое из них связывает однотипные фазовые переменные, относящиеся к разным элементам мо­делируемой системы. Отметим, что для компонентных уравнений, о которых гово­рилось ранее, характерно, что они связывают разнотипные фазовые переменные, относящиеся к одному и тому же элементу системы.

Примером топологических уравнений для электрической системы может быть, например, уравнение первого закона Кирхгофа, устанавливающего равенство нулю суммы токов в узлах схемы, т.е. , где - ток в -й ветви, - множество номеров ветвей, инцидентных рассматриваемому узлу. Другой пример – уравнение Кирхгофа, согласно которому сумма падений напряжений на элементах схемы при их обходе по произвольному контуру равны нулю, т.е. , где - номер ветви, - падение напряжения на ветви, входящей в контур с номером , - множество номеров ветвей, входящих в рассматриваемый контур. Аналогично этим уравнениям для механических поступательных систем справедливо уравнение , где - сила, приложенная к телу (принцип Даламбера) и (сумма абсолютной, относительной и переносной скоростей равна нулю).

В общем случае формирование непрерывной математической модели на макроуровне можно представить следующим образом.

В общем случае формирование непрерывной математической модели на макроуровне можно представить следующим образом.

1. Выделяют в проектируемой системе однородные физические подсистемы.

2. В библиотеке математических моделей САПР выбирают эквивалентные схемы подсистем, т.е. компонентные уравнения вида:

(2.15)

где — вектор фазовых переменных элемента ,

E — подвектор, образованный фазовыми переменными вектора V , производные которых фигурируют в компонентных уравнениях,

t –независимая переменная, например, время.

3. На основе библиотеки компонентных уравнений элементов составляют подсистему компонентных уравнений математической модели системы

F _комп(Z, V, t) = 0. (2.16)

Эта модель состоит из математических моделей элементов, указанных в перечне составляемой математической модели системы.

Рассмотрим следующий пример.

Пусть после анализа некоторого проектируемого объекта была получена его эквивалентная схема, вид которой представлен на рис. 2.10.

Известна математическая модель полупроводникового диода следующего вида:

где - соответственно напряжение и ток диода, - параметры диода.

Математические модели остальных четырех элементов следующие:

Рис. 2.10. Эквивалентная схема проектируемого объекта

Таким образом, для данного примера имеем 10 неизвестных переменных (токи и напряжения), которые образуют вектор фазовых переменных

и вектор , состоящий из двух неизвестных переменных – производных соответствующих переменных. Таким образом, имеем 10+2=12 переменных.

Пять элементов, образующих систему, перечислим в следующем порядке (это важно):

Для этих пяти элементов имеем следующую систему компонентных уравнений:

Возвратимся к общей постановке задачи.

Для решения полученной системы дифференциальных уравнений (см. так же пример) применяют численные методы. Для этого вначале осуществляют дискретизацию системы по времени t, а за­тем осуществляют разложение полученных уравнений на к - м шаге дис­кретизации в ряд Тейлора для получения системы линейных уравнений.

После дискретизации системы уравнений получают совокупность моделей следующего вида:

, (2.17)

где - значение независимой переменной на к - м шаге дискретизации.

Выполним разложение системы уравнений (2.17) в ряд Тейлора в ок­рестностях точки , которая является -м приближением к корню этой системы.

Сохранив в разложении только линейные члены, полу­чим выражения следующего вида:

(2.18)

В выражении (2.18) матрицы и вектор правых частей определены в точке , а есть точка следующего го приближения к корню этой системы.

Для рассматриваемого примера, воспользовавшись формулами получим следующие две матрицы:

и

и вектор правых частей , где -

В этих выражениях переменные относятся к предыдущей итерации, а в векторе искомых переменных к данной итерации.

Таким образом, выражение (2.18) для данного примера примет следующий вид:

 

4. Определяют межэлементные связи между подсистемами и составляют подсистему топологических уравнений вида

(2.19)

где — топологическая матрица инцинденции, показывающая связь между элементами системы. Её элементы есть числа 0, –1, +1.

Подсистема линейных алгебраических уравнений (2.19) выражает законы равновесия и неразрывности для механических систем и законы Кирхгофа – для электрических систем. Существенно, что в эту систему производные, составляющие вектор , не входят (более точно – входят с нулевыми коэффициентами). Поэтому более точно систему (2.19) следовало бы записать в виде О где О – нулевая матрица.

Для рассмотренного примера выбор системы топологических уравнений вида (2.19) основан на применении законов сохранения токов и напряжений Кирхгофа для выбранной совокупности независимых контуров и сечений в графе эквивалентной схемы. Этот граф для рассматриваемого примера изображен на рис.2.11

Рис. 2.11. Пример графа для данного примера

Выбор указанной совокупности независимых контуров и сечений с аналитической точки зрения равнозначен выбору фундаментального де­рева в построенном графе. Фундаментальное дерево (остов) - связный суграф, не имеющий циклов, т.е. фундаментальное дерево охватывает все вершины искомого графа и не образует ни одного цикла. Заметим, что суграф - часть графа, образованная удалением из него некоторых ребер, причем число вершин у графа и суграфа одинаково.

Выберем фундаментальное дерево графа, состоящее из ветвей d и с,, т.е. это дерево имеет вид, изображенный на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Фундаментальное дерево графа

Удаленные дуги графа называют хордами.

В соответствии с интерпретацией законов Кирхгофа топологиче­скую матрицу d можно представить в следующем виде:

где - единичная матрица, - топологическая матрица контуров и се­чений, - транспонированная матрица .

Матрица строится на основании ориентированного графа экви­валентной схемы и выбранного для этого фундаментального дерева. Ко­личество столбцов матрицы соответствует числу ветвей фундамен­тального дерева, а количество строк - числу хорд, т.е. числу исключен­ных из исходного графа дуг.

Процедура построения -матрицы заключается в следующем: каждая хорда поочередно включается в дерево. При этом образуется не­который замкнутый контур. Выполняется обход полученного контура в направлении, заданном направлением хорды от ее начала до ее конца. В строке матрицы, соответствующей данной хорде, ставится число +1, если направление ветви дерева совпадает с направлением обхода контура, ставится число -1, если направление ветви дерева противоположно и ставится число 0, если ветвь не входит в данный контур.

Для рассматриваемого примера с учетом последовательности, в которой рассматриваются фазовые переменные, эта -матрица имеет следующий вид:

ветвь ветвь

Следовательно, матрица для данного примера имеет следующий вид:

Система уравнений вида (2.19), таким образом, будет иметь следующий вид:

.

5. Совместная система компонентных (2.18) и топологических (2.19) уравнений оказывается не доопределенной, так как включает в себя a уравнений с a + g неизвестными, где a — количество фазовых переменных в векторе V, g – размерность вектора Z. Для доопределения необходимо ввести подсистему уравнений, выражающую формулу численного решения вида

(2.20)

Для большинства методов численного интегрирования подсистема уравнений (2.20) линейна и имеет вид:

G_kZ_{k,i+ 1} + H_kV_{k,i+ 1} = L_k. (2.21)

Таким образом, общая система уравнений математической модели объекта проектирования принимает следующий матричный вид:

(2.22)

Обобщая сказанное, можно сделать вывод, что задача формирования математической модели системы конкретизируется как задача формирования матриц G_k, H_k, D, A_ki, B_ki и векторов L_k и Q_ki.

Структура матриц G_k, H_k и вектора L_k определяется выбранным методом численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обратимся опять к нашему примеру. Нетрудно подсчитать, что если воспользоваться только системой уравнений, состоящей из компонентных и топологических уравнений, то эта система не будет доопределенной, так как имеет 12 неизвестных (10 фазовых переменных и 2 переменных типа производных) и 10 уравнений (5 топологических и 5 компонентных).

Доопределим эту систему еще двумя уравнениями, воспользовавшись предыдущими рассуждениями для получения выражений для матриц G_k, H_k и вектора L_k.. Так как - единичная матрица размерности , то делаем вывод, что

Для простоты дальнейших преобразований положим, что порядок метода интегрирования равен единице, т.е. . Тогда .

Матрица при этом будет иметь следующий вид:

Таким образом, имеем следующие компоненты системы уравнений вида (2.22):

; ; ;

0 = ; ; ; .

= ;

 

После соответствующих преобразований, связанных с умножением матриц, получим следующую систему линейных уравнений:

Эта система уравнений является макромоделью исследуемого (проектируемого) объекта проектирования.

Рассмотренный метод формирования математической модели системы называется обобщенным. Его можно применять к моделированию любых технических объектов, если выполняются следующие условия:

1) структуру объекта можно представить в виде совокупности множества элементов и связей между элементами;

2)состояние каждого элемента характеризуется конечным множеством вещественных фазовых переменных, имеющих природу потока (тока) или потенциала (напряжения);

3) для каждого элемента известна математическая модель, связывающая его фазовые переменные между собой.

Эти условия выполняются для большинства систем механической, электрической, гидравлической, пневматической, тепловой природы.