Обобщенная математическая модель объекта проектирования

Рассмотрим обобщенную математическую модель объекта проектиро­вания вне зависимости от предметной области, которой он принадлежит. Это позволит на достаточно абстрактном уровне выявить структуру объек­та проектирования, его внешние связи с общей концептуальной схемой процесса проектирования, сформулировать основные задачи проектирования.

Обобщенную математическую модель объекта проектирования в наи­более общем (абстрактном) виде можно представить следующим образом (см. рис. 1.2).

 

 

Рис 1.2. Обобщенная математическая модель объекта

 

Элементами обобщенной математической модели являются:

1) множе­ство Х варьируемых параметров объекта проектирования;

2) множество Y входных независимых сигналов (параметров), определяющих внешние ус­ловия, в которых должен функционировать объект проектирования;

3) оператор L, определяющий операции над параметрами Х и Y;

4) множество выходных сигналов (показателей) G(X, Y). Один из них может быть пере­веден в ранг целевой функции S(X, Y).

При этом под оператором L понимается полная система математических операций, описывающая чис­ленные или логические соотношения между множеством входных сигна­лов, т.е. X и Y, и множеством выходных сигналов, т.е. показателей G(X,Y).

Связи объекта с внешней средой задаются: 1) входными сигналами (связями); 2) выходными сигналами (показате­лями).

К входным сигналам, очевидно, относятся совокупности независимых вход­ных сигналов и совокупность варьируемых технических параметров объекта проектирования .

К выходным сигна­лам объекта проектирования относится совокупность критериальных по­казателей , необходимых для оценки принимаемых реше­ний. Один из таких показателей может быть переведен в ранг целевой функции S, для которого необходимо обеспечить при проекти­ровании экстремального значения.

Множество независимых входных сигналов опреде­ляет среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых должен функционировать объект. Формально среда описывается совокупностью метрических параметров (т.е. сигналов Y) различной физической природы. К ним можно отнести:

1) технические параметры объекта, не подлежащие по замыслу изме­нению (вариации) в процессе проектирования (они определены исходя из условий вхождения объекта проектирования в систему более высокого уровня иерархии;

2) физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования (изменения температуры, давления и т.п.);

3) тактические параметры, такие как диапазоны высот, скоростей и т.п. в которых должен функционировать объект.

Применительно к этапу проектирования среда функционирования объекта может быть названа сре­дой проектирования. С позиции организации процесса проектирования определяющими являются такие понятия, как определенность и неопреде­ленность среды проектирования. Рассмотрим эти понятия. Для этого отме­тим, что совокупность входных независимых сигналов может быть задана или набором констант или системой величин, каждая из которых имеет диапазон значений,

В первом случае система входных независимых сигна­лов отображается в виде вектора (точки) в пространстве входных независимых сигналов размерности . Во втором - в виде об­ласти (системы точек) этого пространства .В зависимости от того, как описываются входные независимые сигна­лы, т.е. вектором или пространством , различают определенную и неоп­ределенную среды проектирования.

Понятия определенная и неопределенная среда проектирования можно проиллюстрировать следующим образом (см. Рис. 1.3)

Рис. 1.3. Определенная (а) и неопределенная среда (б) проектирования

 

Подобная классификация имеет принципиальное значение для расчета критериальных функций .

При определенной среде значение каждого компонента вектора Y задается числом. Поэтому на каждом l -м цикле проектирования значения критериальных функций находят в следующем виде:

где - вектор варьируемых параметров Х в -м цикле проектирования, , - вектор независимых входных сигналов, заданный в виде системы констант , m - число критериальных показателей, H – число элементов вектора Y.

При неопределенной среде проектирования пространство возможных значений входных независимых сигналов предварительно разбивается на отдельные фрагменты, после чего получает конечное множество опорных точек - мощность множества .

После этого значения критериальных функций на - м цикле проектирования находят с помощью некоторого оператора Z, который обобщает значения критериальных функций и имеет следующий вид:

Обобщающий оператор Z зависит от выбранных критериев синтеза. Обычно в практике проектирования систем с неопределенной средой проектирования используются два основных критерия синтеза: по наихудшим критическим значениям G_j или S или по среднеквадратическому значению этих функций, обобщенному по всему пространству R_y.

Множество X ={х_i}, i = 1,n варьируемых параметров проектируемого объекта отображается пространством варьируемых параметров R_х. Поиск в этом пространстве является одной из составляющих задачи проектирова­ния. Пространство R_х, метрическое с размерностью, равной числу варьи­руемых параметров.

Критериальные условия типа равенства G_j(X) = G_j0 образуют в про­странстве R_х поверхности ограничения. Условия типа G_j(X) <= G_j0 образуют пространство вида ограниченное поверхностями. Это пространство называется подпространством возможных технических решений. Любой вектор является допустимым техническим решением.

При корректно сформулированной задаче синтеза в пространстве находится точка, при которой целевая функция S(X) достигает условного экстремума. Эта точка представляет вектор оптимального технического решения X₀у (см. рис. 1.4).

 

Рис.1 4. Сечение критериальных функций в двумерном пространстве R_x.

— подпространство допустимых решений,

Х_0y — точка условного экстремума — оптимальное решение,

Х₀ — безусловный экстремум целевой функции

Если все компоненты пространства являются независимыми, т.е. ка­ждый компонент не связан функциональной связью с любым другим компонентом рассматриваемого пространства, то оси простран­ства образуют ортогональный базис параметрического синтеза. Физически это означает, что изменение любого параметра не влечёт за собой автома­тическое изменение другого.

Множество выходных сигналов (параметров) объекта проектирования образует пространство R_G критериальных показателей. Одна из осей этого пространства может содержать целевую функцию S.

Множество векторов пространства , образованных на допустимой совокупности множеств варьируемых и независимых пара­метров X и Y, определяет m -мерное пространство функционирования объ­екта данной структуры - . В пространстве можно выделить ги­перплоскостями — область допустимых значений находящуюся в отношениях соответствия пространству допустимых решений . Точка , определяющая максимум (или мини­мум) целевой функции, соответствует оптимальному решению .

Определяющими характеристиками критериальных показателей с точ­ки зрения постановки задачи и организации поиска является: 1) число кри­териальных показателей, 2) их однородность, 3) вид критериальных функ­ций в пространстве варьируемых параметров, 4) способ обобщения крите­риальных показателей в пространстве независимых входных сигналов.

По числу критериальных показателей объекты проектирования делят на однокритериальные и многокритериальные. При многокритериальных задачах возникает проблема предпочтения того или иного критерия, свя­занная с постановкой задачи синтеза и выбора метода поиска решения в многомерных пространствах при наличии многих критериальных функ­ций. Однородность критериев позволяет в ряде случаев привести их нор­мировку и свести многокритериальную задачу к однокритериальной задаче.

По виду критериальных функций в пространстве R_x⁰ проектируемые объекты соответствуют задачам с однозначными и многозначными реше­ниями.

Для однозначных характерны условия выпуклости всех критери­альных функций в пространстве R_x⁰, (см. рис. 1.4).

Многозначность связана с многоэкстремальностью хотя бы одной из критериальных функций. Это приводит либо к разрыву пространства допустимых решений R_x⁰ на ло­кальные пространства, либо к появлению в R_x⁰ ряда условных экстрему­мов. В обоих случаях решение при различных начальных условиях поиска "скатываются" в различные стационарные точки (см. рис. 1.5).

 

 

4 б)

Рис. 1.5. Примеры многозначных решений:

a) R_x⁰, представляется локальными областями

b) целевая функция S(X) многоэкстремальная

Многозначность решений приводит к попыткам глобального поиска, т.е. нахождению наилучшего решения в пространстве R_x⁰.

При оптимальном проектировании один из критериальных показателей переводится в ранг целевой функции S, и тогда критерии проектирования запишутся в виде:

обеспечить extr S при и заданной среде функционирования Y.

Техническое решение для проектируемого объекта ищется на некотором множестве структур А, ко­торые может создать разработчик, и на множестве точек пространства варьируемых параметров R_x⁰, задаваемого разработчиком. Множество структур А и пространство R_x⁰ образуют множество альтернатив, на кото­ром ищется решение. При этих обозначениях задачу проектирования мож­но сформулировать так:

найти такие

при заданной среде функционирования Y.

Техническое решение при этом представляет структуру А₀ и вектор X_0y, найденные из множества возможных структур и варьируемых параметров, отвечающие заданным критериям и среде функционирования объекта.

Таким образом, реализация задачи проектирования в общем случае сводится к проце­дурам структурного параметрического синтеза, которые являются итера­ционными и образуют два цикла:

- внешний цикл структурного синтеза,

- внутренний цикл параметрического синтеза.

Последовательность смены процедур структурного и параметрического синтеза при автоматизирован­ном проектировании можно представить в виде схемы (см. рис. 1.6).

Схема предполагает перебор структур и параметров до момента получения реше­ния, удовлетворяющего критериальным условиям (точка 1).

При невозможности найти решение на обозримом числе структур в пределах заданного про­странства поиска (точка 2) система проектирования выходит на процедуру приня­тия решения, которая содержит два варианта.

По первому варианту (так называемая альтернатива разработчика) разработчик расширяет простран­ство R_x⁰ за счёт перевода ряда независимых параметров Y в разряд варьи­руемых и осуществляет поиск новых структур за счёт расширения множе­ства А.

По второму варианту (так называемая альтернатива заказчика) за­казчик за счет изменения вектора снижает требования, предъявляемые к проектируемому объекту.

 

Рис. 1.6. Схема смены процедур структурного и параметрического синтеза