Как повысить производительность математического труда?

Развитие математики и логики увенчалось созданием богатого набора формальных правил, использование которых позволяет решать обширный класс математических и логических задач. При разработке этих правил математики преследовали две цели. Первая цель была основной и явно выраженной: обогатить математическое знание. Вторая цель состояла в том, чтобы сделать знаковые системы и математические преобразования по возможности удобными и обозримыми. Эта вторая (эргономическая) цель была скорее интуитивной, чем осознанной и научно обоснованной.

В настоящее время, когда сложность математических знаний превысила “критический порог”, настало время коренным образом изменить подход к проблеме. В математике следует выделить два набора правил:

! традиционную математическую и логико-математическую формализацию, обеспечивающую достижение математической эффективности;

! набор эргономических формальных правил, цель которых — добиться эргономической эффективности математических методов.

 

Необходимо “уравнять в правах” и объединить оба набора. В итоге получим единый набор формальных правил, для обозначения которых выше предложен термин “когнитивная формализация знаний”. Совместное применение правил позволит получить удвоенный выигрыш.

Суть вопроса в том, что повышение производительности математического труда, понимаемое как повышение продуктивности человеческого мозга (мозга математиков), — не столько математическая, сколько эргономическая проблема. Человеческий ум и методы улучшения его работы — предмет изучения не математики, а когнитивной эргономики. Эту мысль следует подчеркнуть особо: эргономический выигрыш в математике есть не что иное как повышение производительности математического труда.

Когнитивная формализация как научная идея, направленная на улучшение работы человеческого ума, — это новорожденный младенец, делающий самые первые шаги, но которому, по нашему мнению, суждено большое будущее.

Два метода визуализации
математики

Математический текст в общем случае строится из трех “строительных блоков”:

Диоматематика

=

Словесный текст

+

Формулы

+

Изображения

История математики показывает, что по мере развития математических знаний часть словесного текста постепенно заменяется формулами и изображениями. Указанная замена представляет собой один из важных аспектов эргономизации математики, так как при этом сукцессивное (медленное) восприятие текста заменяется симультанным (быстрым) восприятием формул и изображений.

Важным, хотя и не единственным методом математической эргономизации следует признать визуализацию (замену текста изображе­нием), которая, как отмечает С. Клименко, призвана “делать видимым невидимое”.

Повышение интереса к визуализации породило в США инициативу VISC (Visualization in Scientific Computing), что означает “визуализация в научных вычислениях” [12].

Визуализация математики — это обширная область исследований, охватывающая большое число разнообразных способов и приемов. Среди них выделим два, которые назовем формальным и неформальным методами.

Примером формального метода визуализации является визуальный синтаксис языка ДРАКОН. В самом деле, сравнивая левую и правую части на рис. 90, 91, легко убедиться, что текстовые и визуальные формулы, во-первых, являются строго формальными, во-вторых, эквива­лентны друг другу.

Другим примером формального подхода служит развитие визуального программирования в CASE -технологиях и компьютерных методологиях, а также когнитивной компьютерной графики. В последнем случае используются так называемые “когнитивные изображения”, позво­ляющие показать “внутреннее содержание, идею, суть изображаемого оригинала, которым может быть любое абстрактное научное понятие, гипотеза или теория” [13]. По мнению А. Зенкина, использовавшего идеи когнитивной графики для формального и весьма плодотворного исследования хорошо известной в математике классической проблемы Варинга и ряда других вопросов, этот метод дает возможность “прямого воздействия на сам процесс интуитивного образного мышления исследователя”, в связи с чем “эффективность человеческого мышления, прежде всего в процессе научного познания, способна возрасти уже на многие порядки” [13].

Формальные методы визуализации математики обладают чрезвычайно большим творческим потенциалом. Вместе с тем они имеют очевидный недостаток: каждый такой метод является “штучным произ­ведением искусства”, он появляется на свет в результате индивидуального творческого акта и — в общем случае — не дает никаких прямых указаний, никакой явной подсказки, позволяющей поставить дело на поток и “штамповать” подобные изобретения в массовом порядке на воображаемом “математическом конвейере”. От этого недостатка свободен неформальный метод математической визуализации, о котором пойдет речь ниже.

Проект «Когнитивный стиль»
(COGNISTYLE)

Было бы крайне желательно предложить простой и универсальный визуально-эргономический метод, позволяющий сделать более понятной и наглядной любую или почти любую сложную абстрактную математическую идею или задачу.

Одним из возможных подходов к проблеме является метод CogniStyle. Согласно предварительному, пока еще не завершенному проекту он пред­ставляет собой универсальный метод визуализации научной и учебной литературы, который, в частности, можно применить для визуализации произвольных математических текстов. Все без исключения рисунки в этой книге спроектированы методом CogniStyle.

Для примера перечислим несколько наиболее простых эргономических приемов из набора CogniStyle.

! Визуальная очная ставка: рядом помещаются два рисунка, сравнивая которые нужно выявить сходство и отличие признаков (рис. 3).

! Тройная подпись: общая нижняя надпись и два прямоугольных “подвала” (рис. 3).

! Выделение группы графоэлементов с помощью тонирования (рис. 3 б).

! Инверсное тонирование группы и входящих в нее элементов, чтобы подчеркнуть иерархическое строение группы (рис. 3 б).

! Облако со стрелкой, идентифицирующее группу элементов (рис. 3 б).

! Использование прямоугольных контуров с номерами объектов и стрелками (рис. 5).

! Вариация толщины соединительной линии (рис. 8).

! Два облака, указывающие разные свойства одной и той же линии (рис. 8).

! Пояснения в волнистом прямоугольнике без стрелки (рис. 9, сверху).

! Оценки ситуаций в прямоугольниках со стрелками (рис. 9, снизу).

! Полые стрелки с поясняющим текстом (рис. 9, слева).

! Выделение важных неравенств серым цветом на белом фоне без использования контура (рис. 11).

! Контраст графики и надписи: графика на сером фоне, надпись в подвале — на белом (рис. 13).

! Графические заголовки в полых стрелках (рис. 16).

! Использование крупных черных стрелок для облегчения выявления очной ставки (рис. 21, 22).

! Групповая надпись в облаке, из которого исходит несколько стрелок, указывающих на несколько объектов (рис. 23 а).

 

Внимательно анализируя полный набор иллюстраций к этой книге, любознательный читатель сумеет “выудить” из них большое количество полезных эргономических приемов и таким путем составит более глубокое представление о методе эргономической визуализации “Когнитивный стиль” (СogniStyle).

Пример математической
визуализации с помощью метода
COGNISTYLE

Чтобы убедиться в универсальности метода CogniStyle, рассмотрим в качестве примера математическую задачу, а именно: возведение мат­рицы в степень (рис. 140). Особенность задачи в том, что требуется
возвести в степень матрицу частного вида, которая называется сопровождающей матрицей многочлена[30] [14]. Можно показать, что строки искомой матрицы — это векторы, являющиеся коэффициентами многочленов, принадлежащих определенной последовательности многочленов, а сами многочлены (члены последовательности) суть остатки от деления единицы на некоторый многочлен (получаемый путем преобразования нижней строки заданной матрицы), причем деление единицы на многочлен производится, начиная с младших степеней (как при делении рядов) [15]. Впрочем, в данный момент нас интересует не математическая суть вопроса, а конкретный набор эргономических средств и приемов, используемых для описания математической задачи, чтобы сделать ее предельно ясной, доходчивой и легкой для понимания.

На рис. 140 использованы очень простые, но с эргономической точки зрения весьма выразительные визуальные средства:

! Рамки различной формы, акцентирующие внимание на нужных математических объектах.

! Стрелки, устанавливающие связи между понятиями, заключенными в рамки.

! Стрелки, связывающие пояснения (расположенные в округлых рамках типа “облако”) с нужными понятиями.

! Зонирование текста, т. е. выделение тех или иных фрагментов текста с помощью замкнутых контуров различной формы. Форма контура имеет некоторый алфавит (визуальный синтаксис) и соответствующую визуальную семантику. Зонирование выполняет три функции:

 

1) четко отделяет математический текст (математические объекты и связанные с ними математические преобразования) от метатекста (словесных пояснений к математическому тексту);

2) организует “статическую” структуру диосцены;

3) вместе со стрелками организует “динамическую” структуру дио­сцены, позволяющую проследить ход математических преобра­зований.

! Тонирование текста с помощью оттенков серого и белого цветов помогает зрительно дифференцировать разные визуально-матема­тические понятия и облегчить зрительное восприятие их иерархи­ческой структуры.

 

Перечисленные и другие средства позволяют улучшить восприятие математического текста, сократить интеллектуальные усилия, которые человек затрачивает на процесс чтения, понимания и усвоения знаний.

Каждый из названных пунктов представляет некоторый общий эргономический принцип, который может быть детализирован и превращен в большое число конкретных формально-эргономических правил. Впрочем, с математической точки зрения они не являются формальными. Чтобы достичь терминологического компромисса, их можно назвать “полуформальными”.

Таким образом, CogniStyle — это “полуформальный” метод.

Выводы

1. Одной из главных проблем математики является ее неимоверная трудность, которая во многих случаях превышает возможности человеческого ума, что является основной причиной математического терроризма.

2. Сегодня производительность математического труда крайне низка, однако повышение этой производительности есть проблема не столько математики, сколько эргономики.

3. Математическая формализация является — по крайней мере частично — эргономическим процессом, а раз так, ее можно и нужно рас­сматривать с когнитивно-эргономических позиций.

4. Применение когнитивно-эргономических методов для улучшения письменной (визуальной) формы представления математических знаний позволяет существенно улучшить когнитивное качество и понимаемость математических текстов.

5. Традиционные формы и методы развития и фиксации математических идей, игнорирующие эргономические аспекты математических проблем и тем самым создающие питательную среду для математического терроризма, следует признать устаревшими.

6. Для успешного продвижения вперед необходимо осуществить синтез идей математики и эргономики в рамках нового междисциплинарного направления — эргоматематики.

7. В настоящее время имеются все необходимые предпосылки для практического создания нового поколения учебников математики, построенных с учетом когнитивно-эргономических принципов.

8. Цель создания нового поколения математических учебников и книг состоит в том, чтобы сократить интеллектуальные трудозатраты на восприятие, понимание и глубокое усвоение математических знаний в несколько раз, возможно на порядок.

Глава 20:
Можно ли стать
интеллектуальным суперменом?

Нужно, как то свойственно сильным, отдавать предпочтение вопросам, которые никто не осмеливается ставить; необходимо мужество, чтобы вступить в область запретного... и новые уши для новой музыки... новая совесть, чтобы расслышать истины, прежде немотствовавшие.

Фридрих Ницше

На пороге создания
теории улучшения работы ума

Наше извилистое путешествие сквозь множество пестрых и порою нелегких глав может вызвать у читателя недоумение: в чем главная идея книги? Ответ мы получим в этой главе, которая представляет собой нервный центр работы, ее интеллектуальное ядро. Подобно развязке детективного романа, она призвана расставить все по местам и превратить запутанную мозаику фактов в целостную и четкую картину.

Диоинформация — это любая информация, представленная в форме одной или нескольких диосцен. Обобщая формулу, приведенную в гл. 19, можно записать:

Диоинформация

=

Словесный текст

+

Формулы

+

Изображения

 

В основе книги лежит гипотеза о максимизации мозговой продуктивности. Из нее вытекает принцип эргономизации диоинформации, который гласит: чтобы улучшить работу ума, необходимо улучшить когнитивное качество диоинформации, эргономизировать ее. При проектировании диосцен необходимо, в частности, заботиться о том, чтобы представить заданное смысловое содержание с помощью оптимального сочетания эргономичного текста, эргономичных формул и эргономичных изображений (статичных и динамических).

Стремясь найти свидетельства в поддержку названного принципа, мы представили на суд читателя несколько примеров эргономизации диоинформации:

! язык ДРАКОН;

! примеры эргономизации логики;

! примеры эргономизации математики;

! примеры эргономизации рисунков (метод “Когнитивный стиль” CogniStyle).

 

Этот перечень можно продолжить. При участии автора разработана технология эргономизации учебников и учебных пособий, предназначенная для создания эргономичных (электронных и бумажных) альбомов графических схем (так называемых схемокурсов) по гуманитарным дисциплинам: философии, экономике, психологии, культурологии, социологии, истории, юридическим наукам и т. д. В ближайшее время первые учебные пособия, разработанные по этой технологии, выйдут в свет и, как предполагается, начнется их экспериментальная отработка в реальном учебном процессе.

Опираясь на эти и другие примеры, мы предположили, что:

До сих пор мы доказывали это утверждение на примерах, т. е. индуктивным методом. А нельзя ли дополнить индуктивное доказательство дедуктивным? Нельзя ли построить общую теорию интенсификации интеллекта, из которой принцип эргономизации и принцип максимизации мозговой продуктивности вытекают как логическое следствие?

Человеческий мозг
нужно грамотно проектировать

Попытаемся сделать набросок теории интенсификации интеллекта, в основу которой положим два базовых понятия — знаки и предметы. В рамках предлагаемой модели человек рассматривается как биокибернетический робот-автомат, взаимодействующий со знаковой (информационной) и предметной (физической) средой обитания (рис. 141).

Тезис 1. (Модифицированный тезис Л. Выготского). Знаки — созданные человеком чувственно воспринимаемые социальные инструменты, единственное предназначение которых — управлять человеческим мозгом, а через него — человеческим телом, поведением и всей человеческой жизнью (ср. [1]).

Тезис 2. Знаковое управление мозгом включает в себя две операции: проектирование мозга и программирование мозга. В первом случае изменяется нейростатическая конструкция мозга (конфигурация и характер межнейронных связей), во втором — меняется нейродинамическая внутримозговая информация.

Тезис 3. (Модифицированный тезис А. Полторацкого и В. Швырева). Предметы определяются как не-знаки [2]. Проще говоря, все, что не является знаком, по определению является предметом.

Примерами знаков служат любые диосцены, книги, техническая и управленческая документация, информация на дисплеях, тексты программ, своды законов, показания приборов, произведения искусства, речь, мимика, деньги, музыка, украшения, игрушки, храмы. К предметам относятся девственная природа, дороги, станки, трубопроводы, микросхемы, а также все, что недоступно органам чувств: электромагнитные поля, атомы, электроны и т. д. В некоторых случаях знаки нельзя физически отделить от предметов. Например, телевизор — предмет, а изображение на экране — знак. Если телевизор выключить, знак исчезнет, а предмет останется.

Тезис 4. В мире нет ничего кроме предметов и знаков.

Тезис 5. Человеческая деятельность делится на предметную и знаковую. Используя предметные орудия (например, пилу, топор и рубанок), человек изменяет мир. Используя знаковые орудия (например, речь, молитву или язык программирования), человек изменяет собственный мозг и, следовательно, поведение.

Тезис 6. Человек — это животное, которое потенциально (благодаря особенностям генома) имеет возможность эффективно проектировать и программировать собственный мозг (с помощью специально созданных для этой цели социальных инструментов — знаков) и за счет этого многократно усиливать свои духовные, культурные, интеллектуальные и иные потенции и свойства. В настоящее время указанные возможности используются далеко не полностью из-за ошибочных представлений о сущности человека.

Основанием для разграничения знаковой и предметной среды обитания является тот факт, что первая из них играет неизмеримо более важную роль для формирования и развития интеллекта и духовной культуры человечества. Эту мысль выражает

Тезис 7. (Тезис Выготского о знаковой детерминации сознания и мышления, изложенный в форме метафоры). Интеллект, сознание и духовная культура людей на 99% определяются знаковой средой обитания и всего лишь на 1% — предметной средой обитания.

Тезис 8. Сенсорный приток S — поток информации о состоянии внешнего мира и человеческого тела, поступающий через рецепторные клетки органов чувств по нервным волокнам в мозг человека [3].

Тезис 9. Мозг М — биокомпьютер, обрабатывающий сенсорный приток S и управляющий работой эффекторов (мышц и желез), а через них — человеческим телом, поведением и всей человеческой жизнью.

Как отмечает Д. Сахаров, “в основании нейробиологии лежит простая, разумная и вместе с тем болезненно непривычная мысль, что нервная система — это [информационное] управляющее устройство, выполненное биологическими средствами” [4].

Тезис 10. Мозг М, как и весь организм, образуется из одной единственной первоклетки (зиготы) в процессе онтогенетического (индивидуального) развития под влиянием генома G и среды C:

.

(1)

Формула (1) представляет собой математическую модель, определяющую развитие целостного мозга, содержащего десятки миллиардов нейронов и триллионы межнейронных связей, из одной клетки — зиготы. Модель задана как функция двух переменных, аргументами которой являются генетический код (геном) и воздействия, поступающие из среды С (рис. 141).

Тезис 11. Среда С обитания человека структурно делится на четыре части: витагены В, травмогены Т, знаки Z и физиогены Ф:

,

(2)

причем перечисленные части образуют полный набор воздействий среды на человека.

Тезис 12. Витагены В — жизнеподдерживающий поток веществ, вводимых в организм в ходе обмена веществ, а также пригодные для жизни условия предметной среды (температура, давление и т. д.).

Тезис 13. Травмогены Т — негативные воздействия предметной среды на организм человека: травмы, ранения, ожоги, инфекции.

Тезис 14. Знаки Z и физиогены Ф — элементы знаковой и предметной среды обитания соответственно, воздействующие на рецепторы органов чувств, которые преобразуют их в сенсорный приток S:

.

(3)

Заметим, что витагены и травмогены влияют не на органы чувств, а на организм человека, причем их действие может быть либо позитивным или нейтральным (витагены), либо негативным (травмогены). Витагены, травмогены и физиогены — это не знаки, а предметы.

Из формул (1) и (2) получаем

.

(4)

Тезис 15. Смысл формулы (4) таков: все процессы, связанные с развитием мозга в результате деления зиготы, а также любые процессы, протекающие внутри мозга и нервной системы при любых видах деятельности (включая наиболее сложные виды интеллектуальной работы), полностью определяются квинтетом “царских переменных”, который включает геном, витагены, травмогены, знаки и физиогены. Согласно развиваемой модели, никакие другие причины (переменные) на развитие и деятельность мозга и интеллекта влияния не оказывают.

С биологической точки зрения любое поведение человека (будь то прогулка, работа за компьютером или игра на скрипке) есть не что иное как последовательность отдельных движений человеческого тела, причем в каждом движении участвуют тысячи эффекторов. Что же вызывает срабатывание эффекторов? При активации двигательных нервов в нервномышечном синапсе происходит выброс химического медиатора ацетилхолина, который передает мышце команду сокращаться [5]. Известно, что произвольные движения тысяч эффекторов (которые в своей совокупности образуют поведение П) выполняются по командам мозга М и нервной системы. Значит, поведение П есть функция процессов, происходящих в мозгу М:

.

(5)

Тезис 16. Смысл формулы (5) состоит в том, что поведение однозначно задается командами нервной системы: ни один эффектор не изменит свое состояние, если нервная система не выдаст нужную команду.

Из (4) и (5) получаем

.

(6)

Тезис 17. Формула (6) говорит о том, что любое сколь угодно сложное поведение человека определяется квинтетом царских переменных.

Предположим, что жизнеподдерживающие условия — витагены — находятся в норме (B» const), а негативные воздействия — травмо­гены — отсутствуют (Т = 0). Кроме того, учитывая (3), две простые переменные (Z и Ф) можно заменить одной сложной — сенсорным притоком S. В этом случае формула (6) упрощается и принимает вид

.

(7)

Тезис 18. Формула (7) означает: если в среде обитания отсутствуют экстремальные условия, поведение человека зависит всего от двух переменных: генома и сенсорного притока.

Информацию в мозг поставляют два источника: геном и прижизненный чувственный опыт (далее — опыт). Нейробиологическим аналогом понятия “опыт” является интегральный сенсорный приток

.

(8)

где S (t) — мгновенное значение сенсорного притока;

t = 0 — момент зачатия и образования зиготы;

Т — текущий возраст человека, измеряемый от момента зачатия.

Таким образом, интегральный сенсорный приток (прижизненный опыт) — это полная информация, поступающая в мозг в течение прожитого отрезка жизни от зачатия до текущего возраста Т.

Понятие “опыт” охватывает информацию, поступающую в мозг от экстероцепторов[31] и (по петле обратной связи) проприоцепторов[32]. Общее число сенсорных клеток (датчиков информации), включая интероцепторы[33], измеряется сотнями тысяч. Это сотни тысяч[34] “пушек”, осуществляющих в течение всей жизни человека непрерывную “сенсорную бомбардировку” мозга и нервной системы, которая оказывает огромное влияние на поведение, жизнь и судьбу человека.

Громадный объем сенсорной информации в сочетании со сверхсложным механизмом экспрессии генетического кода и определяет кажущуюся “непостижимой” сложность человеческого поведения.

Тезис 19. (Модифицированный тезис В. Штерна и Ж. Пиаже). Человеческий интеллект I — свойство мозга М, позволяющее человеку приспособиться к знаковой и предметной среде обитания:

.

(9)

Из (4) и (9) получаем

.

(10)

Тезис 20. Интеллект I любого человека определяется квинтетом царских переменных этого человека.

Повторяя рассуждения, изложенные в тезисах 17 и 18, получаем

.

(11)

Тезис 21. При отсутствии экстремальных условий человеческий интеллект I зависит от двух переменных: генома G и интегрального сенсорного притока S.

Если речь идет об уже родившемся конкретном человеке, не имеющем генетических дефектов (это означает, что геном G задан и нахо­дится в пределах нормы), из (11) вытекает

Тезис 22. Интеллект I является функцией сенсорного притока S:

.

(12)

Тезис 23. Чтобы улучшить качество человеческого интеллекта, необходимо улучшить качество сенсорного притока S.

Тезис 24. Из (3) и (12) следует, что интеллект I есть функция знакового и предметного (физиогенного) притоков:

.

(13)

Предположим, что физиогенный приток, поступающий в мозг от экстероцепторов и проприоцепторов, находится в пределах нормы. Имеется в виду, что онтогенетическое развитие человека в предметной среде обитания организовано разумно с учетом сенситивных (критических) периодов развития. При этих условиях справедлив

Тезис 25. Человеческий интеллект I есть функция интегрального притока знаковой информации, воздействующего на мозг в течение всей прожитой жизни от зачатия до текущего момента:

.

(14)

Тезис 26. Для любого новорожденного человека единственный путь к улучшению его интеллекта состоит в обогащении и улучшении качества знаков, потребляемых им на протяжении жизни. Особенно эффективным является синхронное поступление обогащенного знакового притока, передаваемого в мозг от экстероцепторов и проприоцепторов (например, при самостоятельном решении усложняющихся задач).

Тезис 27. Интеллектуальный приток Q — часть знакового притока Z, поступающая в мозг через зрительные, слуховые и кожные рецепторы и влияющая на умственную продуктивность человека.

Тезис 28. Поскольку тактильная (кожная) речь не используется при обучении зрячеслышащих, у последних интеллектуальный приток поступает в мозг преимущественно через зрительные и слуховые рецепторы.

Предположим, что интеллектуальный приток, направляемый в мозг через глаза и уши, распределяется между ними пропорционально числу зрительных и слуховых рецепторов, число которых у человека равно 253 млн. и 47 000 соответственно. Тогда справедлив

Тезис 29. Интеллект зрячих людей на 99,99% определяется зрительной знаковой информацией, в первую очередь — диоинформацией. Чтобы улучшить интеллект, нужно улучшить качество последней.

Тезис 30. (Принцип когнитивного диоинтерфейса). Чтобы система “человек—диоинформация” была эффективной и обеспечивала максимально возможную продуктивность мозга и интеллекта, нужно осуществить взаимную адаптацию человека и диоинформации. В частности, нужно проектировать диоязыки таким образом, чтобы согласовывать между собой когнитивно значимые оптические характеристики диоинформации и когнитивные характеристики человеческого глаза и мозга.

Согласование характеристик следует проводить таким образом, чтобы, во-первых, добиться максимально быстрого, точного, полного и безошибочного восприятия, понимания и усвоения знаний, во-вторых, решить эту задачу ценою минимальных интеллектуальных усилий со стороны человека, потребляющего диоинформацию.

Тезисы 31—33 были изложены ранее в гл. 5. Имеются в виду:

! принцип симультанизации;

! принцип зависимости эффективности восприятия от используемой доли поля зрения;

! принцип приоритета целостного образа.