Эргономическая победа Лейбница

Понятие эргономизации является универсальным: оно применимо не только к алгебре, но и ко многим другим вопросам. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим еще один пример, связанный с эргономизацией исчисления бесконечно малых.

Почти одновременное изобретение дифференциального и интегрального исчислений Лейбницем и Ньютоном явилось восхитительным достижением. Однако в противоположность удобным обозначениям Лейбница символика Ньютона оказалась громоздкой и эргономически не­удачной. К чему это привело? Как пишет историк математики М. Кроу, “общее мнение британских математиков XIX в. состояло в том, что
к 1800 г. континентальные математики далеко превзошли английских главным образом потому, что обозначения Лейбница в математическом анализе оказались лучше Ньютоновых” [8]. Этот факт еще раз подтверждает, что когнитивное качество знаковых систем сильно влияет на интеллектуальную продуктивность.

Ньютон был гением идеи, а Лейбниц — не только гением идеи, но и гением символики. Стремясь построить “всеобщую характеристику” (универсальный язык), он пришел ко многим новшествам в математических обозначениях. Лейбниц — один из самых плодовитых изобретателей математических символов. Немногие так хорошо понимали единство формы и содержания. Именно это внимание к знаку, к формальной стороне метода позволило Лейбницу сформулировать ряд важных положений математического анализа: это и знаменитая формула Лейбница для дифференцирования произведения, и многое другое. Только со времен Лейбница в математике стали широко использоваться знаки “·”, “:” для умножения и деления. Он же ввел в обиход символы log, ∫, d для логарифма, интеграла и дифференциала. Символы Лейбница настолько ясно выражали смысл и значение новых понятий, что легко привились и стали общепринятыми [6, 7].

Речь, разумеется, идет не только о выборе одиночных обозначений (буквенных или иных), но прежде всего о правилах построения суперзнаков. Мы используем термин “суперзнак” для обозначения правил комбинирования одиночных символов и правил их взаимного расположения в двумерном поле бумажной страницы, позволяющих получить полезный формальный или смысловой результат. Таким образом, супер­знак — это диосцена либо ее смысловой фрагмент. Примером супер­знака является выражение

,

а также любые формулы или цепочки формул, частью которых является указанное выражение[28].

Лейбниц хорошо понимал, что создание эффективных знаков и супер­знаков и пользование ими заключает в себе огромные возможности. Как бы предвосхищая будущие достижения когнитивной эргономики и семиотики, открывающие и облегчающие путь к мощным интеллекту­альным прорывам, он пишет: “Общее искусство знаков, или искусство обозначения представляет собой чудесное пособие, так как оно разгружает воображение... Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это большей частью бывает, когда обозначения коротко выражают и как бы отображают интимнейшую суть вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли”.

Поучителен известный спор Лейбница с Вагнером.

Лейбниц. Удобная символика очень много значит для науки.

Возражение Вагнера. Умный справится с любой задачей и без вспомогательных средств, а неумному не помогут никакие руководства.

Ответ Лейбница. Я уверен, что плохая голова, упражняясь в использовании вспомогательных средств [знаков], может превзойти самую лучшую, подобно тому как ребенок может провести линию по линейке лучше, чем самый искусный мастер от руки. Гениальные же умы, снабженные такими преимуществами, пошли бы несравненно дальше.

Школа Лейбница была “гораздо более блестящей, чем школа Ньютона” [6]. Что касается эргономически неудачной символики Ньютона, то она потерпела полный крах. Впрочем, поначалу деканы Кембриджа и Оксфорда рассматривали любую попытку своих студентов использовать обозначения Лейбница как нечестивый бунт против священной тени Ньютона. В итоге ньютонова школа в Англии и школа Лейбница на кон­тиненте настолько разошлись, что Леонард Эйлер в своем “Интегральном исчислении” (1768 г.) рассматривал объединение обоих способов записи, как бесполезное. Но эта преграда была сломлена в 1812 г. группой молодых кембриджских математиков, среди которых был и Чарльз Бэббедж, которого иногда называют отцом современной вычислительной техники. Они пытались, говоря словами Бэббеджа, проповедовать принципы чистого d -изма[29] в противоположность университетскому dotage (игра слов: dotage — старческое слабоумие; с другой стороны, dot — точка, age — эпоха; получается dotage — эпоха точек; более чем прозрачный намек на Ньютоновы обозначения производных ) [6]. Справедливости ради добавим, что символика Ньютона полностью не исчезла: с позором изгнанная из математического анализа, она тем не менее иногда применяется в теоретической механике.

Методологическая ошибка
историков математики

История математики показывает, что многие разделы этой науки стали успешно разрабатываться только после того, как были введены удобные (эргономичные) знаки, способствующие развитию соответствующих рассуждений и построений. Так, Джузеппе Пеано настаивал на важном значении символического обозначения во всяком математическом предложении, его полезности в трудных и тонких вопросах. Стефен Клини совершенно правильно отмечает: “Открытие простых символических обозначений, которые сами приводят к манипуляциям по формальным правилам, явилось одним из путей, на которых развивалась мощь современной математики”.

Отсюда вытекает, что длительный исторический процесс изобретения, изменения, улучшения и реконструкции математической символики нельзя рассматривать как нечто второстепенное для математических исканий. Данный процесс (эргономический по своей природе) в немалой степени отражает волнующий путь зарождения и развития новых математических идей и понятий, он теснейшим образом связан с сокровенными тайнами математического творчества. Изучение названного эргономического процесса должно стать одним из важных направлений истории математики, если она хочет претендовать на статус научной дисциплины, удовлетворяющей современным междисциплинарным требованиям.

К сожалению, в работах по истории науки в целом (и по истории математики в частности) эта сторона дела нередко выпадает из поля зрения ученых. Во многих публикациях господствует “модернизаторский” подход, когда старинные формулы и чертежи грубо искажаются в результате некритического перевода на современный язык. При этом эргономическая драма древних обозначений и понятий полностью ускользает от внимания исследователя. Например, в работе Б. Спасского даже чертеж Галилея, при помощи которого тот решал свою задачу, сильно изменен и упрощен и все изложение ведется на современном языке [9]. Отто Нейгебауэр довольно резко замечает: “Только в последнее время ученые, вслед за А. Ромом и А. Делаттом, начали публиковать тексты вместе с рисунками и обозначениями на них. Кроме этих недавних исключений, ни одному изданию верить нельзя, во всяком случае в отношении вида, буквенных обозначений и даже наличия рисунков” [10]. Пример сознательно модернизированного издания — Арифметика Диофанта. Например, символ Диофанта □ (неопределенный квадрат) переделан на понятный современному читателю лад х 2(переменная x
во второй степени) [9].

Модернизированные издания древних математических рукописей позволяют быстро проследить ход решения задач и математических преобразований в современных обозначениях. Однако достигается это слишком дорогой ценой. Важнейшая задача историко-математического исследования — реконструкция математического мировоззрения древних авторов — остается невыполненной, так как отказ от старинных обозначений зачастую до неузнаваемости искажает старинную систему понятий. Другой недостаток состоит в том, что исследователь, упуская из виду междисциплинарный характер стоящей перед ним задачи, как бы “перепрыгивает” через ее самый трудный участок (который можно охарактеризовать как историко-эргономический анализ эволюции математических понятий и символики) и тем самым полностью лишает себя возможности выявить и тщательно исследовать эргономическую суть проблемы. В результате историко-математическое исследование не достигает цели и по крайней мере частично превращается в неумышленную фальшивку.

Аналогия между математической
Диосценой и панелью
отображения информации

Вспомним некоторые сведения из “классической” эргономики.

Рассмотрим работу оператора, управляющего реакторным отделением атомной электростанции. Оператор трудится за пультом управления, на котором — наряду с другим оборудованием — размещается комплекс средств отображения информации, обеспечивающий выдачу оператору итоговой информации о работе реактора в виде, удобном для использования. Средства отображения информации представляют оператору возможность работать с информационной моделью объекта (реактора), которая должна быть адекватна реальной ситуации и соответствовать закономерностям и характеристикам человеческого восприятия, памяти, мышления. Модель должна быть наглядной, чтобы позволить человеку-оператору понять суть проблемной ситуации быстро, без трудоемкого анализа. При этом информация должна предъявляться человеку в “разжеванном виде” и не требовать от него дополнительного перекодирования в более понятную форму [11].

На основании теоретического анализа и обширного практического опыта специалисты по эргономике разработали многочисленные и весьма ценные правила, которым должна удовлетворять форма представления информации для человека-оператора [11, 12].

А теперь зададим вопрос: есть ли что-либо общее у двух, казалось бы, столь непохожих объектов, как панель отображения информации и страница математического текста? Оказывается, есть, причем можно указать четыре общих свойства. Во-первых, и панель индикации, и математический текст представляют собой диосцены. Во-вторых, они несут информацию, предназначенную для зрительного восприятия.
В-третьих, целью восприятия является понимание важной информации человеком. Наконец, в-четвертых, крайне желательно представить информацию в таком виде, чтобы человек мог достичь понимания за
минимальное время ценою минимальных интеллектуальных усилий в соответствии с критерием Декарта.

Исходя из сказанного, можно сделать четыре вывода.

! Система “математик — математический текст” в определенном от­ношении похожа на систему “оператор — средства отображения информации”.

! Математический текст и отображаемая на пульте информация являются аналогами, ибо представляют собой разные формы кодирования оптической информации, предназначенной для зрительного восприятия.

! Чтобы улучшить понимаемость математического текста, следует попытаться использовать разработанные в инженерной психологии эргономические правила, применяемые при проектировании средств отображения информации.

! В тех случаях, когда указанные правила “не работают”, следует доработать и улучшить когнитивно-эргономическую теорию, расширив ее возможности применительно к проектированию интересующих нас систем “человек—знание” (рис. 139).