Теорема 1 (достаточный признак существования предела последовательности)

Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Теорема 2 (второй замечательный предел)
Существует предел .

Последовательность возрастает и ограничена сверху, по теореме 1 существует предел, этот предел называют неперовым числом и обозначают через e.

Итак,

Так как 2 < a_n < 3, то 2 < a_n ≤ 3, т.е. 2 < e ≤ 3. Это число e иррациональное и e ≈2,718282.

Число e широко используется как основание для показательной функции y=ex (экспонента) и как основание для логарифмов logex=lnx (натуральные логарифмы).

 

Рассмотрим (рис. 1.13) функцию , которая не определена на отрезке [-1,0] (подумайте почему?). Ее область определения (–∞, –1)U(0, +∞).
Известно, что . Нетрудно показать, что
Все записанные пределы объединяются одним названием второго замечательного предела.

Рассмотрим применение второго замечательного предела для вычисления некоторых пределов.
Пример. Найти

Решение. Обозначим: . Если n→∞, то m→∞ и мы получим:

 

Сравнение бесконечно малых функций.Эквивалентные бесконечно малые функции.

Пусть a(x) и b(x) – б.м. функции при x → a (x→ + ∞, x → –∞, x → x0,...). Рассмотрим предел их отношения при x → a.

1. Если и b – конечное число, b ≠ 0, то функции α(x), β(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x → a.

2. Если , то α(x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем β(x) при x → a. Очевидно, в этом случае .

3. Если α(x) – б.м. высшего порядка, чем β(x), и (b – конечное число, k N), то α(x) называют бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с β(x) при x → a.

4. Если не существует (ни конечный, ни бесконечный), то α(x), β(x) называют несравнимыми б.м. при x →a.

5. Если , то α(x), β(x) называются эквивалентными б.м. при x → a, что обозначается так: α(x) ~ β(x) при x → a.

Пример 1. α(x) = (1 – x)³, β(x) = 1 – x³.

Очевидно, что при x→1 функции α(x), β(x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x →1:

Вывод: α(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с β(x) при x → 1.

Нетрудно убедиться, что (убедитесь!), откуда следует, что α(x) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с β(x) при x → 1.

Пример 2. Функции α₁(x) = 4x, α₂(x) = x², α₃(x) = sinx, α₄(x) = tgx являются бесконечно малыми при x→0. Сравним их:

Отсюда заключаем, что α2(x) = x2 – б.м. высшего порядка, по сравнению с α1(x) и α3(x) (при x → 0), α1(x) и α3(x) – б.м. одного порядка, α3(x) и α4(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x → 0.

Теорема 1. Пусть α(x) ~ α1(x), β(x) ~ b1(x) при x → a. Если существует , то существует и .
Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3. Найти .
В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x→0, поэтому

Теорема 2. Бесконечно малые функции α(x) и β(x) эквивалентны (при x → a) тогда и только тогда, когда α(x) - β(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с α(x) и β(x) (при x → a).

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Пример 4. Найти .

По теореме 3 при x →0: 4x + 2x³ ~ 4x, sin²x + 3tg5x + x³ ~ 3tg5x, тогда

 

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Пусть функция f(x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности. Если существует , то функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, а x₀ называется точкой непрерывности функции f(x).

На языке логики равенство описывается формулой:

Используя понятия односторонних пределов, можно перефразировать определение так: функция называется непрерывной в точке x₀, если она определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности, если существуют и
Иногда приходится рассматривать непрерывность функции в точке x₀ справа или слева. Пусть функция определена в точке x₀ и некоторой ее левой полуокрестности.

Если , то говорят, что f(x) непрерывна в точке x₀ слева.

Аналогично определяется непрерывность справа.

Пример 1. Функция f(x) = x³ определена на R.

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x0 = 2.
Действительно, , значит, f(x) = x³ непрерывна в точке x₀ = 2.

Пример 2. .

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x₀ = 0:

.
Так как , то непрерывность функции f(x) в точке x₀ = 0 доказана.

Дадим определение точек разрыва.

Пусть f(x) определена в окрестности точки x₀, но может быть не определена в x₀.
Точка x₀ называется точкой разрыва для функции f(x), если в точке x0 функция f(x) не определена, или не существует, или .
Пример 3. Функция не определена в точке x₀ = 0, но определена в любой окрестности этой точки, поэтому x₀ = 0 является точкой разрыва для f(x).
Пример 4. Функция не определена в точке x₀ = 3, x₀ = 3 – точка разрыва для f(x).
Пример 5. Пусть E(x) = «целая часть числа x», т.е. E(x) равно наибольшему целому числу, не превосходящему x0. Так и т.д. График y = E(x) представлен на рис. 1.14.

Для x₀ = 2: E(2) = 2, .
Так как, то E(x) в точке x₀ = 2 имеет разрыв, как и в любой другой целочисленной точке. Различают точки разрыва первого рода и второго рода.
Точка разрыва x₀ для функции f(x) называется т очкой разрыва первого рода, если существуют (конечные) пределы: . В противном случае x₀ – точка разрыва второго рода. В примере 5 точка x₀ = 2 является точкой разрыва первого рода, так как существуют пределы. В примере 4 x₀ = 3 – точка разрыва второго рода, так как .

 

Точка x₀ разрыва первого рода, для которой , называется точкой устранимого разрыва. Такой является точка x₀ в примере

3. Если рассмотреть функцию , то φ(x) непрерывна в точке x0 = 0, так как . Доопределив функцию в точке x₀ = 0, мы устранили разрыв.

Рассмотрим операции над непрерывными функциями.

Теорема 1. Если функции f₁(x) и f₂(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x0. Если, кроме того, f₂(x₀) ≠0, то частное также непрерывно в точке x₀.
Теорема 2. Если функция u = φ(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = φ(x0), то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x₀.

Установим непрерывность некоторых элементарных функций:

1. Всякая постоянная функция y = C непрерывна в каждой точке x₀ R, так как .

2. Функция y = x непрерывна в любой точке x₀, так как . Тогда функция y = Cxⁿ, где n N, непрерывна на всей числовой оси, как произведение непрерывных функций.

3. Любой многочлен: y = a₀ + a₁x + a₂x² +...+ a_nxⁿ, непрерывен в каждой точке числовой оси, как сумма непрерывных функций.

4. Всякая рациональная дробь, являющаяся отношением двух многочленов , непрерывна во всех точках, в которых многочлен Q(x) не обращается в 0.

5. Функция y = sinx, y = cosx непрерывны в точке x₀ = 0, так как

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Если функция f(x) непрерывна в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что f(x) непрерывна на интервале (a, b).

Пример 6. Функция непрерывна на интервалах (–∞, 3) и (3, +∞), так как при x0≠ 3: .