Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Функции, заданные параметрически.
Рассмотрим задание линии на плоскости, при котором переменные x, y являются функциями третьей переменной t (называемой параметром): (2.2) Для каждого значения t из некоторого интервала соответствуют определенные значения x и y, а, следовательно, определенная точка M (x, y) плоскости. Когда t пробегает все значения из заданного интервала, то точка M (x, y) описывает некоторую линию L. Уравнения (2.2) называются параметрическими уравнениями линии L. Если функция x = φ(t) имеет обратную t = Ф(x), то подставляя это выражение в уравнение y = g(t), получим y = g(Ф(x)), которое задает y как функцию от x. В этом случае говорят, что уравнения (2.2) задают функцию y параметрически. Пример 1. Пусть M (x, y) – произвольная точка окружности радиуса R и с центром в начале координат. Пусть t – угол между осью Ox и радиусом OM (см. рис. 2.3). Тогда x, y выражаются через t: Уравнения (2.3) являются параметрическими уравнениями окружности. Исключим из уравнений (2.3) параметр t. Для этого каждое из уравнений возведем в квадрат и сложим, получим: x2 + y2 = R2(cos2t + sin2t) или x2 + y2 = R2 – уравнение окружности в декартовой системе координат. Оно определяет две функции: Каждая из этих функций задается параметрическими уравнениями (2.3), но для первой функции , а для второй . Пример 2. Параметрические уравнения задают эллипс с полуосями a, b (рис. 2.4). Исключая из уравнений параметр t, получим каноническое уравнение эллипса: Пример 3. Циклоидой называется линия, описанная точкой, лежащей на окружности, если эта окружность катится без скольжения по прямой (рис. 2.5). Введем параметрические уравнения циклоиды. Пусть радиус катящейся окружности равен a, точка M, описывающая циклоиду, в начале движения совпадала с началом координат. Определим координаты x, y точки M после того, как окружность повернулась на угол t OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint), y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – cost). Итак, получены параметрические уравнения циклоиды: При изменении параметра t от 0 до 2π окружность поворачивается на один оборот, при этом точка M описывает одну арку циклоиды. Уравнения (2.5) задают y как функцию от x. Хотя функция x = a(t – sint) имеет обратную функцию, но она не выражается через элементарные функции, поэтому функция y = f(x) не выражается через элементарные функции.
Рассмотрим дифференцирование функции, заданной параметрически уравнениями (2.2). Функция x = φ(t) на некотором интервале изменения t имеет обратную функцию t = Ф(x), тогда y = g(Ф(x)). Пусть x = φ(t), y = g(t) имеют производные, причем x't≠0. По правилу дифференцирования сложной функции y'x=y't×t'x. На основании правила дифференцирования обратной функции , поэтому: Полученная формула (2.6) позволяет находить производную для функции, заданной параметрически. Пример 4. Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически:
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Пусть функция в точке x0 имеет производную. По определению: Δy = f '(x0)Δx + α×Δx. (2.7) При Δx → 0 второе слагаемое в равенстве (2.7) является бесконечно малой высшего порядка, по сравнению с , поэтому Δy и f ' (x0)×Δx – эквивалентные, бесконечно малые (при f '(x0) ≠ 0). Таким образом, приращение функции Δy состоит из двух слагаемых, из которых первое f '(x0)×Δx является главной частью приращения Δy, линейной относительно Δx (при f '(x0)≠ 0). Дифференциалом функции f(x) в точке x0 называется главная часть приращения функции и обозначается: dy или df (x0). Следовательно, df (x0) =f '(x0)×Δx. (2.8) Пример 1. Найти дифференциал функции dy и приращение функции Δy для функции y = x2 при: Решение 1) Δy = (x + Δx)2 – x2 = x2 + 2xΔx + (Δx)2 – x2 = 2xΔx + (Δx)2, dy = 2xΔx. 2) Если x0 = 20, Δx = 0,1, то Δy = 40×0,1 + (0,1)2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4. Запишем равенство (2.7) в виде: Δy = dy + a×Δx. (2.9) Приращение Δy отличается от дифференциала dy на бесконечно малую высшего порядка, по сравнению с Δx, поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством Δy ≈ dy, если Δx достаточно мало.
Учитывая, что Δy = f(x0 + Δx) – f(x0), получаем приближенную формулу: f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + dy. (2.10) Пример 2. Вычислить приближенно . Решение. Рассмотрим: Используя формулу (2.10), получим: . Значит, ≈ 2,025. Рассмотрим геометрический смысл дифференциала df(x0) (рис. 2.6). Следовательно, дифференциал функции f(x) в точке x0 равен приращению ординаты касательной. Найдем дифференциал функции Если x – произвольное число, то из равенства (2.8) получаем df(x) = f '(x)dx, откуда . Рассмотрим свойства дифференциала функции. Если u(x), v(x) – дифференцируемые функции, то справедливы следующие формулы: Для доказательства этих формул используются формулы производных для суммы, произведения и частного функции. Докажем, например, формулу (2.12): d(u×v) = (u×v)'Δx = (u×v' + u'×v)Δx = u×v'Δx + u'Δx×v = u×dv + v×du. Рассмотрим дифференциал сложной функции: y = f(x), x = φ(t), т.е. y = f(φ(t)). Тогда dy = y'tdt, но y't = y'x×x't, поэтому dy =y'xx't dt. Учитывая, что x't= dx, получаем dy = y'xdx =f '(x)dx. Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где x =φ(t), имеет вид dy = f '(x)dx, такой же, как в том случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциал а.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 1808; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.148.102.90 (0.012 с.) |