Если целые числа расположены в естественном порядке, то в каком направлении их можно перечислять бесконечно.

В направлении возрастания и в направлении убывания.

 

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Что явилось главным мотивом для создания рациональных чисел?

Главным мотивом для создания рациональных чисел была желание и необходимость создания числовых объектов характеризующих взаимоотношение части и целого.

Что такое числовая обыкновенная дробь? Числитель? Знаменатель? Правильные, неправильные дроби – что это такое?

Числовой обыкновенной дробью называется выражение , где m – любое целое число, а n –натуральное число. Число, стоящее над чертой называется числитель. Число, стоящее под чертой называется знаменатель. Дробь называется правильной если числитель меньше знаменателя и неправильной в противном случае.

 

Есть ли количественный смысл у числовой дроби?

Да, есть. Положительная числовая дробь выражает количество частей (m) некоторого целого, поделенного на n равных частей. При таком понимании числовой дроби видим, что натуральные и целые числа также могут быть выражены при помощи числовой дроби знаменатель, которой равен единице.

 

73. Из какого материала и как была построена система рациональных чисел? Какие требования были выполнены при построении этой системы?

Система рациональных чисел была построена из числовых обыкновенных дробей. Главным требованием при построении этой системы было продолжение операций и отношений, работающих на целых числах с сохранением их главных свойств, таким образом, чтобы операция деления была выполнима всегда.

 

Являются целые числа рациональными? Являются ли натуральные числа рациональными?

Да, целые числа являются рациональными. Целые числа являются частью рациональных чисел. Натуральные числа являясь частью целых чисел, также являются рациональными числами.

 

Может ли число, представленное дробью быть целым? Натуральным?

Может. Например, число -40/8 является целым числом -5. Точно таким образом число 40/8 является натуральным числом 5.

 

Каково главное или основное свойство дроби? Из чего оно следует?

При определении рационального числа, представленного в виде числовой дроби, исходя из смысла числовой дроби постулируется, что все числовые дроби полученные из данной числовой дроби путем одновременного умножения числителя и знаменателя на одно и то же (любое) натуральное или целое число представляют то же самое рациональное число, что и исходная дробь. Исходя из этого формулируется ГЛАВНОЕ СВОЙСТВО ЧИСЛОВОЙ ДРОБИ: если числитель и знаменатель числовой дроби умножить или разделить (если это возможно) на одно и то же число, то рациональное число, которое представляет получившаяся дробь не изменится. Часто говорят, что сама дробь не изменится, хотя это не совсем правильно. Более того, если две числовые дроби таковы, что ни одна из них не может быть получена при помощи умножения числителя и знаменателя другой на одно и то же число, то эти дроби обязательно представляют разные (неравные) рациональные числа. В этом случае привычно говорят, что дроби неравны.

 

Сколькими способами рациональное число может быть представлено в виде дроби? Есть ли среди этих способов некий единственный, особый?

Из основного свойства числовой обыкновенной дроби следует, что рациональное число может быть представлено в виде дроби бесконечным количеством способов. Однако, среди всех этих представлений есть случай, когда числитель и знаменатель нельзя разделить на одно и то же натуральное число. В этом случае дробь называется несократимой. Представление рационального числа в виде несократимой дроби единственно!!! Равенство двух дробей предпо-лагает, что одна из них сократима, так что две различные несократимые дроби не могут быть равны и значит представляют различные рациональные числа.