Как определяется операция сложения натуральных чисел?

Сложение натуральных чисел определяется исходя из смысла натуральных чисел. Если имеются два натуральных числа, то им соответствуют какие-то множества отдельных предметов. Натуральное число, описывающее множество отдельных предметов, состоящее из элементов обоих данных множеств и называется суммой двух, начально взятых натуральных чисел.

 

Как определяется операция вычитания натуральных чисел?

Вычитание натуральных чисел можно определить двумя способами: первый способ (естественный) - определение производится как и в случае сложения исходя из смысла натуральных чисел. Вычитание натуральных чисел отражает идею изъятия части элементов какого-нибудь конечного множества из множества всех его элементов. Как видно из этого описания операции вычитания, она выполнима не всегда. Второй способ (формально – логический) – определение производится строго формально. Операция вычитания в этом случае определяется как обратная операция для операции сложения.

Какие свойства операции сложения можно наблюдать исходя непосредственно из смысла натуральных чисел и смысла операции сложения смысла?

Такими свойствами являются:

1 - переместительность (коммутативность) n + m = m + n, слагаемые можно ставить в любом порядке

2 - сочетательность (ассоциативность) (n + m) + k = m + (n + k), слагаемые можно разбивать на группы любым способом

3 - свойство нуля n + 0 = n при прибавлении к любому числу нуля сумма будет равна тому же числу

Можно ли математически доказать коммутативность, ассоциативность сложения и свойство нуля по отношению к сложению?

Убедиться в справедливости этих свойств возможно только из смысла натуральных чисел и операции сложения. Доказать эти свойства опираясь на некоторые, более простые утверждения нельзя.

Как определяется операция умножения натуральных чисел? Можно ли сказать, что операция умножения является логической конструкцией изготовленной

Изготовленной при помощи операции сложения?

Да, можно. Операция умножения определяется как строгая формальная конструкция и представляет из себя многократное сложение.

Можно ли сказать, что числа участвующие в операции умножения имеют одинаковый смысл, как это имеет место при операции сложения?

Каков смысл сомножителей при умножении натуральных чисел?

Нет, так сказать нельзя. Смысл сомножителей при операции умножения различен. Операция умножения определяется как многократное

сложение: один сомножитель обозначает некоторое натуральное число, другой сомножитель показывает сколько раз это число выступает слагаемым при

многократном сложении. При сложении оба слагаемых обозначают одно и то же. Например: складываются яблоки и яблоки. При умножении, если первый

сомножитель обозначает яблоки, то второй – не яблоки, а количество раз, которое, данное количество яблок берется в качестве слагаемого при многократном

суммировании или, например, число тарелок, в каждой из которых одинаковое количество яблок.

 

Каковы главные 4 свойства операции умножения натуральных чисел?

1 - переместительность (коммутативность) n * m = m * n, сомножители можно ставить в любом порядке

2 - сочетательность (ассоциативность) (n * m) * k = m * (n * k), сомножители можно разбивать на группы любым способом

3 - свойство нуля 0 * n = 0 при умножении нуля на любое число получаем ноль

4 - свойство единицы 1 * n = n при умножении единицы на любое число получаем само это число

Как можно убедиться в справедливости 4-х главных свойств умножения натуральных чисел. Можно ли их математически доказать?

Убедиться в справедливости этих свойств можно путем наблюдения за конкретными множествами, описываемыми сомножителями n и m,

при определенном расположении этих множеств в пространстве. Доказать эти свойства опираясь на некоторые, более простые утверждения нельзя.