Какое важное изменение в свойствах неравенств произошло при переходе от натуральных чисел к целым числам.

Главные свойства отношения неравенства на натуральных числах показаны в вопросе 25. При переходе к целым числам свойства не касающиеся операций и касающиеся операций сложения и вычитания остаются без изменения, однако свойства 25.5 и 25.6 говорящие о сохранении неравенства при умножении и делении обеих частей на одно и то же число приобретают дополнительную особенность. И формулируются для целых чисел следующим образом:

5. Если n < m, а k – положительное число, то n * k < m * k если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то

неравенство сохраниться. Исходные числа в неравенстве могут быть любыми (пол,отр).

Сохранение неравенства при умножении на положительное число.

Например: или 32 < 56, или -56 < -32, или (-56) < 32)

Здесь показаны все возможные случаи умножения неравенства на положительное число 8.

Если n < m, а k – отрицательное число, то n * k > m * k если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то

знак неравенства сменится на противоположный.

Исходные числа в неравенстве, тем не менее, могут быть любыми.

Смена знака неравенства на противоположный при умножении на отрицательное число.

Например: или (-32) > (-56) - произошла смена знака неравенства.

или 56 > 32 - произошла смена знака неравенства.

или 56 > (-32) - произошла смена знака неравенства.

Здесь показаны все возможные случаи умножения неравенства на отрицательное число (-8).

Точно так же с делением:

6. Если n < m, а k – положительное число, то n: k < m: k если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то

неравенство сохраниться. Исходные числа в неравенстве любыми.

Сохранение неравенства при делении на положительное число.(Если деление возможно)

Например: или 4 < 12, или -12 < -6, или (-12) < 4

Здесь показаны все возможные случаи деления неравенства на положительное число 6.

Если n < m, а k – отрицательное число, то n: k > m: k если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то

знак неравенства сменится на противоположный.

Исходные числа в неравенстве, тем не менее, могут быть любыми.

Смена знака неравенства на противоположный при делении на отрицательное число.

(Если деление возможно)

Например: или (- 4) >(- 12) - произошла смена знака неравенства.

или 12 > 4 - произошла смена знака неравенства.

или 24 > (-4) - произошла смена знака неравенства.

Здесь показаны все возможные случаи деления неравенства на отрицательное (- 6).

(Неравенства для степеней (свойства 7 и 8) перестают работать на целых числах в том виде как они работают на натуральных числах. Полный перечень свойств неравенств на целых и рациональных числах целесообразно привести после строго определения степени с отрицательным и дробным показателем.)