Правила арифметических операций в эвм над машинными кодами.

Алгебраическое сложение. Параллельный сумматор. Учет переносов и переполнения. Определение знака результата. Особенности сложения и вычитания для прямых кодов. Двухпроводность операции вычитания прямых кодов. Формирование дополнений при вычитании. Реализация сложения и вычитания для дополнительных и обратных кодов.

Методы умножения. Умножение натуральных кодов. Методы реализации таблиц умножения. Машинная реализация умножения прямых кодов. Реализация методов умножения для дополнительных и обратных кодов. Влияние основания системы счисления на время реализации умножения.

Методы деления. Начальная установка делимого и делителя. Метод пробных вычитаний делителя из остатка. Машинная реализация методов для прямых, дополнительных и обратных кодов. Использование избыточного симметричного алфавита для оптимизации алгоритма деления без восстановления остатка. Особенности деления натуральных кодов с симметричным алфавитом.

Арифметические операции над числами с плавающей запятой. Сложение чисел с плавающей запятой. Выравнивание порядков. Сложение и округление мантисс. Нормализация результата. Правила сложения для очень больших и малых чисел и машинного нуля. Умножение и деление для чисел с плавающей запятой. Арифметические действия с числами при ненормализованной мантиссе.

Приближенные вычисления. Округление произведения и частного с учетом природы специфики операции умножения. Приближенное умножение с итеративным изменением длины множимого. Приближенное деление с итеративным изменением длины делителя. Оценки погрешности методов приближенного умножения и деления. Алгоритмы реализации арифметических операций с двойной и выше точностью.

Примеры я не нашла господа ищите сами.

Основой цифровой техники служат три логические операции, лежащие в основе всех выводов компьютера. Это три логические операции: И, ИЛИ, НЕ, которые называют «тремя китами машинной логики».

В компьютере логические функции реализуют логические элементы. Логический элемент (вентиль) – это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию, т.е. это электронная схема, которая формирует выходной сигнал в соответствии с простой булевой операцией преобразования сигналов, поданных на его входы.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И–НЕ, ИЛИ–НЕ и другие, а также триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

Самой простой логической операцией является операция НЕ, по-другому ее часто называют отрицанием, дополнением или инверсией и обозначают NOT ().

Если А – истинно, то Ā – ложно и наоборот

Таблица истинности:

А	Ā

Результат отрицания всегда противоположен значению аргумента. Логическая операция НЕ является унарной, т.е. действие выполняются над одним операндом. В отличие от нее, операции И (AND) и ИЛИ (OR) являются бинарными, так как представляют собой результаты действий над двумя логическими величинами.

Например, A – идет дождь; Ā – не идет дождь (не(А) или not(A))

Логическое И еще часто называют конъюнкцией, или логическим умножением, а ИЛИ – дизъюнкцией, или логическим сложением.

Операция И (обозначается «И», «and», «&», А•В) имеет результат «истина» только в том случае, если оба ее операнда истинны.

Таблица истинности:

A	B	F

Если F = A&B, то F истинно тогда и только тогда,

Когда истинны и А и В

Например, A – пасмурно; B – идет дождь.

Можно записать: A&B (читается пасмурно и идет дождь)

Операция ИЛИ (обозначается «ИЛИ», «or», А+В) «менее привередлива» к исходным данным. Она дает «истину», если значение «истина» имеет хотя бы один из операндов. Разумеется, в случае, когда справедливы оба аргумента одновременно, результат по-прежнему истинный.

Таблица истинности:

A	B	F

Если F = A+B, то F ложно тогда и только тогда, когда ложны и А и В.

Например, A – пасмурно; B – идет дождь.

Можно записать: A+B (читается пасмурно или идет дождь)

Операции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему логических операций, из которой можно построить сколь угодно сложное логическое выражение. В вычислительной технике также часто используется операции импликация и эквивалентность.

Логическое следование: импликация – связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) – следствием из этого условия. Результатом импликации является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ …, ТО …

Таблица истинности:

A	B	F

Логическая равнозначность: эквивалентность – определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом эквивалентности является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Обозначается символом "эквивалентности".

Таблица истинности:

A	B	F

 

 

10)

Вопрос 10

В вычислительных машинах коды нуля и единицы представляются электрическими сигналами, имеющими два различных состояния. Наиболее распространенными способами физического представления информации являются импульсный и потенциальный:

· импульс или его отсутствие;

· высокий или низкий потенциал;

· высокий потенциал или его отсутствие.

При импульсном способе отображения код единицы идентифицируется наличием электрического импульса, код нуля — его отсутствием (впрочем, может быть и наоборот). Импульс характеризуется амплитудой и длительностью, причем длительность должна быть меньше временного такта машины.

При потенциальном способе отображения код единицы — это высокий уровень напряжения, а код нуля — отсутствие сигнала или низкий его уровень. Уровень напряжения не меняется в течение всего такта работы машины. Форма и амплитуда сигнала при этом во внимание не принимаются, а фиксируется лишь сам факт наличия или отсутствия потенциала.

Вышесказанное обусловило то, что для анализа и синтеза схем в компьютере при алгоритмизации и программировании решения задач широко используется математический аппарат алгебры логики, оперирующий также с двумя понятиями «истина» или «ложь».

Элементы алгебры логики

Алгебра логики — это раздел математической логики, значение всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.

Высказывание — это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, то есть каждое высказывание или истинно, или ложно, и не может быть одновременно и истинным и ложным.

Высказывания:

· «Сейчас идет снег» — это утверждение может быть истинным или ложным;

· «Вашингтон — столица США» — истинное утверждение;

· «Частное от деления 10 на 2 равно 3» — ложное утверждение.

В алгебре логики все высказывания обозначают буквами а, b, с и т. д. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений, и в дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операции, то результаты операций также будут элементами этой алгебры.

Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (иначе: операция ИЛИ (OR), операция дизъюнкции) и логического умножения (иначе: операция И (AND), операция конъюнкции). Для обозначения операции логического сложения используют символы + или V, а логического умножения — символы • или /\. Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий. В частности, для алгебры логики применимы следующие законы.

1. Сочетательный:

(а + b) + с = а + (b + с),

(а ∙ b) ∙ с = а ∙ (b ∙ с).

2. Переместительный:

(а + b) = (b + а),

(а∙ b) = (b ∙ а).

3. Распределительный:

а ∙ (b + с) = а ∙ b + a ∙ с,

(а + b) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с.

Справедливы соотношения, в частности:

а + а = а, а + b = b, если а ≤ b,

а ∙ а = а, a ∙ b = а, если а ≤ b,

а + a ∙ b = a, a ∙ b = b, если а ≥ b,

а + b = а, если а ≥ b,

а + b = b, если а ≤ b.

Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим элементом — 1. В алгебре логики также вводится еще одна операция — отрицания (операция НЕ, инверсия), обозначаемая чертой над элементом.

По определению:

 

Справедливы, например, такие соотношения:

Функция в алгебре логики — выражение, содержащее элементы алгебры логики а, b, с и др., связанные операциями, определенными в этой алгебре.

Примеры логических функций:

 

 

Для любой операции, определенной в алгебре логики существуют таблицы истинности – таблицы, в которых приведены значения операции в зависимости от значений высказываний над которыми выполняется данная операция.

Поскольку таблица истинности для конъюнкции совпадает с таблицей умножения, если истинному высказыванию приписать значение '1', а ложному - '0', то сложное высказывание можно назвать произведением.

X1	X2	f1(X1,X2)

Функция конъюнкции истинна тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.

Дизъюнкция

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него.

X1	X2	f1(X1,X2)

Читается X1 ИЛИ X₂: часто это высказывание называют логическим сложением.

Логическая равнозначность

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания.

Отсюда следует, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.

Например,

А=<дважды два - пять>B=<один плюс два - шесть>А~В равнозначны.

Импликация

Это сложное высказывание ложно только тогда, когда X₁ – истинно, а X₂ – ложно.

X1	X2	f1(X1,X2)

Читается: если X₁, то X₂. При этом X₁ – посылка, X₂ – следствие.

Из ложной посылки может следовать ложное следствие и это можно считать верным: <если Киев – столица Франции>, то <2-квадрат 3>.

Эквивалентности

В некоторых случаях сложное и длинное высказывание можно записать более коротким и простым без нарушения истинности исходного высказывания. Это можно выполнить с использованием некоторых эквивалентных соотношений.

Дизъюнкция:

х х х х ... х х х= х,

т.е. истинность высказывания не изменится, если его заменить более коротким, таким образом, это правило приведения подобных членов:

– постоянно истинное высказывание.

0 x = x

x₁ x₂ = x₂ x₁

- (переместительный) коммуникативный закон.

x₁ х₂ х₃ = (x₁ х₂) х₃ = x₁ (х₂ х₃)

- сочетательный закон.

Конъюнкция:

х х х х... х х х= х

правило приведения подобных членов:

1 x = х

0 x = 0 - постоянно ложное высказывание

x x = 0 - постоянно ложное высказывание

Сложение по mod 2

1 х = x0 x = xx x = 1

x x x ... x = х – при нечетном числе членов, 0 - при четном числе членов

Правило де Моргана

x₁ x₂ ... x_n = x₁ & x₂&... & x_n

x₁ x₂ ... x_n = x₁ & x₂ &... & x_n

Докажем для двух переменных с помощью таблицы истинности:

Х1	Х2	Х1 Х2	X1 & X2

Операция поглощения:

Х XY = X или в общем виде X X*f(X,Y,Z...) = X;

Операция полного склеивания:

XY XY = X (по Y)XY XY = Y (по Х)

Операция неполного склеивания:

XY XY = Х XY XY