Распределение ресурсов между проектами портфеля

Обзор существующих моделей и методов распределения ресурсов

Одной из важных задач управления проектами является задача распределения ресурсов. Механизмы распределения ресурса со­ставляют обширный и чрезвычайно важный, с точки зрения прак­тических приложений, класс механизмов управления проектами.

Далее в настоящей работе в рамках теоретико-игрового под­хода будет сформулирована и решена задача распределения ресур­сов между проектами, входящими в портфель проектов, реализуе­мых организацией.

Но прежде чем переходить к постановке задачи распределения ресурса по проектам портфеля, рассмотрим уже разработанные модели распределения ресурса, их специфику и степень примени­мости к задачам управления портфелями проектов.

Теоретико-игровые модели анализа и синтеза механизмов управления являются предметом исследований в теории управле­ния организационными системами [13]. Специфика управления проектами заключается, в том числе, в том, что они реализуются в рамках матричных структур, в которых исполнитель оказывается подчинен одновременно нескольким "равноправным" управляю­щим органам - например, руководителю проекта и своему функ­циональному руководителю (в отличие от линейных структур, в которых существует древовидная иерархия подчинения [112]).

Такие структуры получили название систем с распределенным контролем. Систематически впервые их модели исследованы в [122]. Полная характеризация решений задачи управления в систе­ме с несколькими управляющими органами (центрами) и одним управляемым субъектом - агентом - получена в [64, 75]. В даль­нейшем модели с распределенным контролем развивались в не­скольких направлениях: в [60] получено решение задачи управле­ния для двухуровневой системы с несколькими центрами и несколькими агентами, характеризуемыми векторными предпочте­ниями; в [13, 60, 65] изучалась роль высшего руководства в согла­совании интересов центров; в [61] рассматривались модели так называемых Х-структур, в которых руководство исполнителями осуществляла управляющая компания; в [9] приведены модели матричных структур, в которых руководитель проекта обладает приоритетом принятия решений перед функциональным руководи­телем; в [120] изучена модель согласованного взаимодействия в четырехуровневой структуре с приоритетом функциональных руководителей над руководителями проектов.

Помимо кратко рассмотренных выше систем с распределен­ным контролем, существуют еще несколько подходов к построе­нию механизмов распределения ресурса. Во-первых, это подход, основывающийся на решении задач распределения ресурсов на сетях - решении задач дискретной оптимизации, позволяющих минимизировать время выполнения проекта или упущенную выго­ду в ситуации, когда продолжительности работ проекта зависят от

используемых на них количествах ресурса [13, 10]. Во-вторых, это - модели с сообщением информации, в которых количество ресур­са, выделяемое агентам, зависит от их заявок. При этом возникает проблема манипулирования информацией, результаты исследова­ния которой приведены в [41, 117].

Портфели проектов характеризуются, в частности, тем, что для них существенной оказывается возможность несовпадения интересов управляющих органов, отвечающих за реализацию (или заинтересованных в реализации) тех или иных проектов (будем дальше называть их руководителями проектов - РП) и владельцев ресурсов, необходимых для реализации проектов (условно будем называть последних функциональными руководителями - ФР). Поэтому возникает задача построения модели такого распределе­ния ресурсов между проектами, входящими в портфель, которое позволяло бы согласовать интересы всех заинтересованных участ­ников. Эта задача и решается ниже в настоящей работе. Для этого сначала дается общее описание модели, формулируется задача оптимального распределения ресурсов в рамках централизованной схемы. Далее решение этой задачи (эффективность распределения ресурса) сравнивается с эффективностью использования схемы, учитывающей интересы ФР и РП и с эффективностью введения трансфертных (внутрифирменных) цен на ресурс. В заключение, будет рассмотрен модельный пример, иллюстрирующий получен­ные результаты.

Описание модели распределения ресурсов между проектами портфеля

Пусть имеется множество N= {1, 2, …,_n } проектов - претен­дентов на включение в портфель, и множество M = {1, 2, …,_m } ресурсов различных видов. Обозначим у_у >0- количество ресурса j-го вида, используемое при реализации i-го проекта, У i ⁼ (yi1, y i₂,…, y im) - вектор ресурсов, используемых при реализа-

ции i-го проекта, jy = (jy₁, jy₂,…, jy_n) - вектор распределения ресур­са j-го вида, y = ||yij|| - матрица распределения ресурса, i ∈N, j ∈M.

Обозначим H_i(y_i) - доход, получаемый от реализации i-го про­екта, в зависимости от количества ресурсов на нем, cj(jy) - затраты на использование ресурсаj-го вида, i ∈N,j ∈ M.

Централизованная схема

Задача распределения ресурса в общем виде заключается в том, чтобы распределить ресурс, максимизируя "прибыль" - раз­ность между доходом от реализации проектов и затратами на использование ресурса: (1)x = arg max

Распределение ресурса в соответствии с (1) назовем централи­зованной схемой, так как она не учитывает интересов исполните­лей работ по проектам и "владельцев" ресурсов и может быть реализована централизованно высшим руководством.

Отметим, что, так как выше не оговаривались свойства функ­ций дохода и затрат, то задача (1) имеет максимально общий вид и включает в себя как частные случаи, наверное, все мыслимые постановки задач распределения ресурсов между проектами, включая задачи формирования портфеля проектов (проекты, на которые в оптимальном решении не выделяются ресурсы, вклю­чать в портфель не следует).

Действительно, например, ограниченность ресурсов может учитываться в функции затрат (так называемый метод штрафных функций), наряду с возможностью закупки ресурсов (привлечения кредитов) вне рассматриваемой организации; дискретность задачи (получения отличного от нуля дохода от реализации проекта толь­ко в случае, если на него выделено не менее заданного суммарного

количества ресурса или ресурсов в заданной комплектности) мо­жет учитываться в функции дохода и т.д.

Итак, выражение (1) дает оптимальное распределение ресур­сов между проектами портфеля, но не учитывает интересов участ­ников организационной системы. Поэтому рассмотрим модель согласования интересов последних при распределении ресурсов.

Распределенный контроль: согласование интересов

Пусть РП i выплачивает ФР j сумму Яу за использование ре­сурса zy >0,i ∈ N, j ∈ M.

Условие компенсации затрат ФР (то есть условие согласован­ности выборов ФР [115, 122]) имеет вид:

1'еЛГ

Вычислим максимальные выигрыши РП (при реализации наи­более выгодных для них по отдельности распределений ресурса): W_i= max [Hi(y_i)- J^c (y)],i ∈N.

Запишем условие того, что существует система платежей от РП к ФР, такая, что выигрыш каждого из РП не меньше, чем при независимой деятельности каждого из них: y >W_bicN.

_b

Из [122] известно, что условие согласованности интересов РП (между собой и с ФР) имеет вид:

где

(4) Λ(z) = {λij≥0, i ∈N,j ∈K | (2) и (3) }.

Из [122] известно, что интересы РП могут быть согласованы тогда и только тогда, когда

Получаем, что справедливо следующее утверждение:

Утверждение 3. Если 3z: Λ(z) ≠∅,то Λ(x)

Содержательно утверждение 3 означает, что, если согласова­ние интересов РП возможно, то распределение ресурса, предлагае­мое в рамках централизованной схемы, также является согласо­ванным. Отметим, что это отнюдь не означает согласованность любого централизованного решения по распределению ресурса между проектами портфеля.

Трансфертные цены

Частным, но достаточно распространенным на практике, слу­чаем взаимодействия участников организационной системы при реализации портфеля проектов является использование так назы­ваемых трансфертных (внутрифирменных - различий между этими понятиями мы делать не будем) цен, определяющих стоимость использования РП единицы того или иного ресурса.

Обозначим затраты РП на использование ресурса (5) ф„) = rj + Дуц, i eN.j eN.

Отметим, что ставки γj и Д зависят только от вида ресурса и не зависят от того, в каких проектах ресурс используется (система цен является унифицированной).

Тогда целевая функция j-го ФР имеет вид:

Обозначим Yj= ^Уу и предположим, что cj(jy) = Cj(Yj),

j ∈M. Предположим, что функции затрат являются дифференци­руемыми, выпуклыми (использование ниже условий первого по­рядка при поиске оптимального распределения ресурса неявно подразумевает, что реализованы будут все проекты из множества N) и равными в нуле нулю. Тогда оптимальное с точки зрения j-го ФР количество используемого ресурса имеет вид:

Условие того, что при использовании трансфертных цен каж­дый из ФР получит тот же выигрыш, что и при централизованной схеме, имеет вид: (8) nγj + βj Cj'-¹(βj) = Cj&Xy),j ∈M.

ieiV

Условие совпадения количеств ресурсов, выделяемых на каж­дый проект при централизованной схеме и при использовании трансфертных цен, запишем в виде

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 4. Использование централизованной схемы (1) при распределении ресурсов между проектами портфеля эквива­лентно использованию системы трансфертных цен, удовлетво­ряющих (8) и (9).

Подчеркнем, что при заданном оптимальном распределении ресурса (1) может не существовать эквивалентной системы транс­фертных цен, то есть множество решений системы (8)-(9) может оказаться пустым.

Аналогичным утверждению 4 образом можно записать усло­вия эквивалентности механизма согласования интересов и меха­низма трансфертных цен (см. пример ниже).

Пример распределения ресурсов между проектами портфеля

Рассмотрим пример (обобщающий соответствующие резуль­таты, приведенные в [117]), иллюстрирующий применение опи­санного выше подхода для случая организационной системы с двумя проектами (и, соответственно, двумя РП) и одним видом ресурса (и, соответственно, одним ФР).

Пусть у ФР имеется единичное количество ресурса (отметим, что количество ресурса фиксировано). Стратегией ФР является выбор действия y ∈ [0; 1], содержательно интерпретируемого как

количество ресурса, выделяемого на первый проект. Соответст­венно, (1 -y) характеризует количество ресурса, выделяемого на первый проект.

РП получают доходы, зависящие от того количества ресурса, которое было выделено на соответствующий проект: H1(y) = y, H₂(y) = 1 -y.

ФР несет затраты c(y) = α y² /2 + (1 -y)² /2, где α≥0. Мини­мум функции затрат ФР достигается при действии 1/(1 + α).

Определим наиболее выгодное для первого РП количество ре­сурса (максимизирующее разность между H1(y) и c(y)):

[1, а<\

Выигрыш первого РП при этом равен

\\-а12,а<\

\

[2(1 +α)

Определим наиболее выгодное для второго РП количество ре­сурса (максимизирующее разность между H₂(y) и c(y)): у₂ = 0. Выигрыш второго РП при этом равен W₂ = 1 /2.

Определим действие y 0, доставляющее максимум выражению [H1(y) + H₂(y) - c(y)]: y 0 = 1 /(1 + α), и вычислим следующую величину:

W0 = [H1(y0) + H2(y0) - c(y₀)] = ^{α +} 2.

2(α + 1)

Условие согласованности имеет вид: W1 + W₂ ≤W₀. Так как величины W1 и W0 зависят от параметра α, то можно найти множе­ство значений этого параметра, при которых условие W1 + W₂ ≤W0 выполнено.

Возможны следующие варианты:

1. α≤1, при этом W1 + W₂ ≥W₀ и W1 ≥W₂, следовательно, в
данном диапазоне значений параметра α целесообразно весь ре­
сурс выделить на первый проект;

2. α ∈ [1; 2], при этом W1 + W₂≥W₀и W₂≥ W_h следовательно,
в данном диапазоне значений параметра α целесообразно весь
ресурс выделить на второй проект;

3. α≥2, при этом W1 + W₂ ≤W₀, следовательно, в данном диа­
пазоне значений параметра α целесообразно выделение ресурса и
на первый, и на второй проект.

Рассмотрим последний случай более подробно. Из условий со­гласования получаем, что должно иметь место

₇< "~ Л₂< "~ Л!+Л₂=-^.
2(1 + α) 22(1 + а) \ + α

Положив _λ1 = λ₂ = λ, получим: λ = α, что всегда удов-

2(1 + α)

летворяет условию λ ≤----------.

2(1 +α)

Таким образом, условия утверждения 5 выполнены при α ≥2. При этом рассмотрение механизмов с внутрифирменной ценой за ресурс бессмысленно, так как суммарное количество ресурса фиксировано.

В заключение рассмотрения примера найдем условия эквива­лентности механизма согласования интересов и механизма транс­фертных цен.

Рассмотрим случай α ≤1. При этом весь ресурс расходуется на первый проект (имеет место режим конкуренции РП, характери­зуемый аукционным решением их игры [122]) и ФР получает от первого РП вознаграждение, равное c(у₁) + W₂ + ε, где ε - сколь

угодно малая строго положительная константа.

Пусть теперь первый РП использует пропорциональную сис­тему стимулирования ФР со ставкой _β:σL(y) = γ + β y. Целевая

функция ФР имеет вид σ_L(y) - c(y). Выбираемое им действие мак­симизирует его целевую функцию, то есть: y*(β) =

Для того, чтобы побудить ФР отдать весь ресурс на первый проект руководителю первого проекта следует положить β= α, тогда y*(α) = 1. Для того, чтобы вознаграждение ФР при использо­вании линейной системы стимулирования совпадало с вознаграж­дением, получаемом в механизме согласования интересов, должно выполняться γ= ε + (1 - α)/2.

Таким образом, мы рассмотрели три схемы распределения ре­сурса между проектами портфеля: централизованную; учитываю­щую интересы руководителей проектов и функциональных руко­водителей; и основанную на унифицированных трансфертных ценах за используемые ресурсы. В рамках рассмотренной модели получены условия эквивалентности этих схем распределения ресурса.