Проблема манипулирования информацией

Выше, при постановке и решении задачи построения агреги­рованного критерия эффективности, считалось, что приоритеты агентов известны. Такая ситуация не всегда имеет место - возмож­но, что лицу, принимающему решения - центру, неизвестны пред­почтения агентов, и он просит их сообщить информацию о своих предпочтениях.

Если решения, принимаемые на основании агрегированного критерия, затрагивают интересы агентов, то они будут стремиться сообщить такую информацию, чтобы принимались наиболее пред­почтительные для них решения. Следовательно, возникает про­блема манипулирования информацией [41]. Значит необходимо исследование условий, при которых агентам будет выгодно сооб­щать достоверную информацию.

Обозначим ∆^k — k-мерный единичный симплекс, где k — число критериев. Будем параллельно рассматривать два механизма: π(s): (∆k)ⁿ →∆^kи g(v): (5R*"¹)ⁿ → 5R*"¹, где n - число агентов.

Механизм я(-). Будем считать, что в механизме π(s) i-ый агент сообщает центру информацию s_i = (si1, s_i2,…, sik), ^Sy = 1, где

Sy >0- сообщение (не обязательно истинное) о его представлениях об относительной важности критерияj ∈ K, i ∈ N.

Истинные предпочтения i-го агента - идеальная точка - его субъективные представления об относительной нормированной важности критериев (его тип [41]) - обозначим r_i = (r_i1, r_i2,…, r_ik), rij≥0,j ∈K, J^ry =l,ieN.

Центр принимает решения на основании процедуры планиро­вания (механизма принятия решений, механизма агрегирования мнений агентов) - вектор-функции я(-), такой, что πj(s) является относительным приоритетом j-го критерия, где s = (s₁, s₂,…, s_n), jcK.

Механизм #(•). В механизме я(-) считалось, что каждый из агентов сообщает вектор приоритетов критериев, удовлетворяю­щий условию нормировки. Мыслить в таких категориях (отслежи­вать нормированность и т.д.) может быть затруднительно, поэтому рассмотрим модель, в которой требование нормировки априори не накладывается.

В механизме g(•) сообщение каждого агента имеет вид вектора vi = (vi1, v_i2,…, vik-1, 1), где Vy - приоритет j-го критерия относи-

тельно k-го с точки зрения i-го агента, j ∈K\ {k}, i ∈N (понятно, что в качестве точки отсчета - базового критерия - может быть выбран любой критерий, а не обязательно k-ый, как это сделано выше).

Истинные предпочтения i-го агента в механизме g(-) обозна­чим w_i = (wi1, w_i2,…, 1), wij≥0,j ∈K\ {k}, i ∈N.

Сообщения в механизмах я(-) и g(-) связаны следующим обра­зом: (7) _sij =

(9) v_ij = sij/sik, i ∈N,j ∈K.

Сообщения (7), (8) уже удовлетворяют условию нормировки для любых сообщений {vy > 0}.

Относительно механизмов я(-) и g(-) будем предполагать, что вектор-функции я(-) и g(-):

1) непрерывны по всем переменным;

2) удовлетворяют условию единогласия: если для некоторого
j ∈K для всех i ∈N выполнено sy = aj (yy = aj), то πj(s) = aj
(gj(s) = aj). Другими словами, если все агенты сообщают одну и ту
же оценку приоритета некоторого критерия, то итоговый приори­
тет этого критерия должен равняться данной оценке.

3) анонимны, то есть, симметричны относительно перестано­
вок агентов.

4) сепарабельны, то есть

s) = πj(s1j, s_2j,…, s_nj),j gj(v) = gj₍ v_2J,..., v_nj),j

5) монотонны, то есть πj(s) не убывает по sij, а gj(v) не убывает
по vij,j ∈K, i ∈N.

Кроме того, будем предполагать, что π(•) удовлетворяет усло­вию нормировки: Vs πj(s) ≥0,j ∈K, ∑πj(s) = 1.

Частным является случай, в котором агрегированный крите­рий эффективности определяется "усреднением" оценок, сообщен­ных агентами:

П 1'еЛГ

что приводит, например, к линейному агрегированному критерию.

Отметим, что процедура (10) удовлетворяет требованиям 1-5.

Опишем теперь предпочтения агентов. Будем считать, что ка­ждый агент заинтересован в том, чтобы итоговое значение приори­тетов критериев было как можно ближе к его субъективному мне­нию. Тогда предпочтения агентов (напомним, что рациональные агенты стремятся максимизировать свои целевые функции [66]) можно описать однопиковыми [118, 128,150, 157] действительно­значными функциями fi(π(s), r_i) (соответственно, fi(g(v), w_i)), воз­растающими по мере приближения πj(s) к Гц (соответственно, g_j(v) к wij),j ∈ K, i ∈N. Примерами могут служить

или

Имея целевые функции и множества допустимых действий (сообщений) агентов, и считая, что они сообщают центру инфор­мацию однократно, одновременно и независимо (при условии, что предпочтения агентов являются общим знанием между ними), можно анализировать игру агентов [66].

Вектор равновесных по Нэшу сообщений агентов s* (соответ­ственно, v*) будет зависеть от их истинных мнений r (соответст­венно, w), то есть в общем случае

s*(r) = (s1*(r), s₂*(r),…, s_n*(r)), v*(w) = (v1*(w), v₂*(w),…, v_n*(w)).

Обозначим соответствующие механизмам л(-) и g(-) прямые
механизмы hπ(r): (∆k)ⁿ →∆^k, hπ(r) = π(s*(r)) и

h_g(w): (5R*"¹ )n → У1^к₊~\ h^w) = g(v*(w)), где идеальные точки {гу} и {wij} связаны соотношениями (7)-(9).

В случае k = 2 однопиковые сепарабельные предпочтения агента на ∆^k порождают однопиковые сепарабельные предпочтения на 5R*"¹, и наоборот. В случае k ≥3 это уже не так. Кроме того, так как, несмотря на то, что каждый из механизмов я(-) и g(-) предпо­лагается сепарабельным, процедуры (7)-(9) «пересчета» весов критериев уже не сепарабельны, поэтому будем исследовать меха­низмы по отдельности.

Рассмотрим последовательно ряд случаев.

Случай 1 (k = 2, n ≥ 1).

В этом случае легко показать, что механизмы я(-) и g(-) явля­ются манипулируемыми. Построим для них соответствующие прямые механизмы. Начнем с анализа примера для механизма я(-).

Пример 1. Рассмотрим сначала частный случай, когда: имеет­ся два критерия и используется линейная процедура (10).

Обозначим su = pi, тогда S& = 1 -pi,p i ∈[0, 1] - сообщаемая i-ым агентом оценка приоритета первого критерия, i ∈ N.

Получаем: π 1(s) = 1 ∑ p i ,π2(s) = 1 ∑ (1 − p_i) = 1 - π 1(s).

Приведем пример. Обозначимp = (p1,p2).

Пусть n = 2. Запишем функции наилучших ответов агентов: BR_i(p_3-i) = {2 г_а -рз-t} ∩ [0; 1], i = 1, 2. Так как прямые наилучших ответов агентов не пересекаются, то не существует равновесия Нэша, лежащего строго внутри квадрата [0; 1]².

Пусть для определенности r_n < r₂1 (если r_n = r₂1, то агентам в силу условия единогласия выгодно сообщение достоверной ин­формации). Тогда возможны три случая.

1.r₁1 < r₂1 < 1/2. Тогда равновесием Нэша является следую­щий вектор сообщений - s *(r₁1, r₂1) = (0; 2 r₂₁), что приводит к

π1(s* (r11, r₂1)) = r21, то есть "диктатором" [118] является второй агент.

2. Гц < 1/2 < r₂1. Тогда равновесием Нэша является следую­щий вектор сообщений - s*(r₁1, r₂₁) = (0; 1), что приводит к 7Ti(s (ги, r21)) = 1/2, то есть "диктаторы" отсутствуют.

3. 1/2 < г_п < r21. Тогда равновесием Нэша является следую­щий вектор сообщений - s *(r₁1, r₂1) = (2 г_п -1; 1), что приводит к π1(s*(r₁1, r₂1)) = r₁1, то есть "диктатором" является первый агент.

Видно, что при несовпадающих интересах агентов (r_n ^r₂i) сообщение достоверной информации не является равновесием Нэша игры агентов.

Тем не менее, в данном случае возможно построение эквива­лентного прямого механизма (то есть такой процедуры, в которой агентам выгодно сообщать достоверную информацию о своих предпочтениях, и которая приводит к тому же итоговому реше­нию, что и исходная процедура [118,128]).

Эквивалентный прямой механизм имеет следующий вид. Центр спрашивает агентов об их представлениях о приоритетах критериев, обещая использовать процедуру вычисления равнове­сия в соответствии с приведенными выше тремя случаями. Легко убедиться, что каждому из агентов выгодно сообщать в этом меха­низме достоверную информацию. •

Отметив сходство описываемой модели с механизмами экс­пертизы [41, 118, 128, 151, 157], перейдем к рассмотрению более общего случая. А именно, предположим, что процедура я(-) приня­тия решений удовлетворяет требованиям 1-5, имеются два крите­рия, а целевые функции агентов fi(π1(p), π₂(π), r_i1, r_i2) являются однопиковыми (примерами являются (12) и (13)) по переменным π1, π2 с точками пика, соответственно, г_а и r_i2.

По аналогии с механизмами экспертизы [41, 118, 128] иссле­дуем структуру равновесия Нэша игры агентов. Для этого вычис-

лим (n + 1) число: z_i = π₁

0, 0,..., 0, 1, 1,...,

, i = 0, n.

При этом z₀ = 1 > z1 > z₂ >... > z_n = 0.

Центр может попросить агентов сообщить истинные значения {ri1}i ∈N и использовать их следующим образом (эквивалентный прямой механизм): упорядочить агентов в порядке возрастания их сообщений; если существует число q ∈ 2,n, такое, что z_q-1 ≥r_q-1,1; z_q ≤r_q,₁ (легко показать, что существует единственный агент с таким номером q), то Л] = min (z_q-1; r_q,1) - звездочка здесь и далее обозначает равновесность соответствующей величины.

Пусть все Гц различны и упорядочены в порядке возрастания, то есть r и < r21 <... < r_n1 и π1* - равновесие Нэша (я> = я^ (г))). Можно показать, что если Л] > ri1, то p_i — 0, если я> < Гц, то

pi -I. Если же 0 < р* < 1, то π1* = r_i1. При этом если π1* = r_q1, то V/ < q р* = 0, V/ > q р* = 1, а величина р* определяет-

ся из условия π

V______

Таким образом, для определения ситуации равновесия доста­точно найти номер q. Если z_i ≤r_i1 ≤z_i-1, то я> = r_i1, то есть i-ый агент является диктатором на отрезке [z_i;z_i-1]. Легко показать, что существует единственный агент q, для которого выполнено

z_q-1 ≥r_q-₁,1, z_q ≤r_q1.

Определив таким образом q, можно найти итоговое равновес­ное значение приоритета первого критерия: я> = min (z_q-1, r_q1).

По аналогии с рассмотренным выше примером можно пока­зать, что сообщение достоверной информации (p_i≡r_i1)i∈N

является равновесием Нэша игры агентов.

Таким образом, обоснована справедливость следующего ут­верждения.

Утверждение 1. Механизм hj^-) = min (z_q-₁, r_q1) является нема-нипулируемым.

Таким образом, механизм принятия решений об относитель­ной важности двух критериев отличается от классического меха­низма активной экспертизы наличием "второго критерия". Однако его присутствие (в силу условия нормировки) не меняет результата - при удалении (приближении) равновесия от точки пика по пер­вому критерию, равновесие "автоматически" удаляется (приближа­ется) к точке пика по второму критерию.

Рассмотрим теперь механизм h_g(-) для первого случая. Обо­значим q1 = arg max {wi1}, q₂ = arg max {w_i2}, где w - совокуп­ность идеальных точек всех агентов.

Отметим, что, хотя механизм h_g(-) является неманипулируе-мым, равновесие в общем случае зависит от того, какой критерий выбран в качестве базового (см. также пример 2).

Пример 2. Пусть г_п = 1/3;, r₁₂ = 2/3, r₂₁ = 3/4, r₂₂ = 1/4, πj(s) = (s1j + s_2j)/2, gj(v) = (v1j + v_2j)/2, j = 1,2. Тогда w_n = 1/2,

w12 = 1, w21 = 3, w₂₂ = 1.

Если в механизме я(-) все агенты говорят правду, то π(r) = (13/24, 11/24). Механизм h^-) обеспечивает сообщение достоверной информации и дает в равновесии hπ(r) = (1/2, 1/2).

Если в механизме g(-) все агенты говорят правду, то g(r) = (7/4,1). Механизм h_g(-) обеспечивает сообщение достовер­ной информации и дает в равновесии, если базовым выбран пер­вый критерий - h_g(r) = (1/3, 2/3), если второй - h_g(r) = (3/4, 1/4). Три механизма (для каждого из которых существует эквивалент­ный прямой (неманипулируемый) механизм), которые, казалось бы, в соответствии с (7)-(9) «однозначно связаны», приводят к трем различным исходам, что свидетельствует о том, что выбор механизма агрегирования мнений агентов о приоритетах критериев следует производить чрезвычайно вдумчиво и осторожно, учиты­вая возможные последствия манипулирования. •

Обозначим qj = arg max {wij},j ∈K.

Утверждение 2. В механизме h^-) равновесие имеет следую­щий вид:

где v_qjj(w) таково, что gj(0, 0,..., 0, v_qjj)= w_qjj, j ∈K\{k}.

При этом

(15)h_gj(w) = _gj(v*(w)) = w_qjj,j ∈K\ {k}.

Справедливость утверждения 2 следует из подстановки (10) в (1) с учетом свойств 1-5 механизма g(-). Содержательно утвержде­ние означает, что приоритет каждого критерия определяется мне­нием агента, считающего данный критерий наиболее важным. Этого агента, следуя традиции [26, 105], назовем «диктатором».

Следствие. Механизм h_g(-), определяемый (15), является нема-нипулируемым.

Для механизма h^(j можно привести пример, показывающий его манипулируемость в случае, если число критериев больше либо равно трем.

Агрегируем полученные в настоящем разделе результаты в виде следующей теоремы.

Теорема. а) Для механизма g(-) принятия решений об относи­тельной важности критериев, удовлетворяющего предположениям 1-5, существует эквивалентный прямой (неманипулируемый) механизм (15).

б) Для механизма я(-) принятия решений об относительной важности двух критериев, удовлетворяющего предположениям 1-5, существует эквивалентный прямой (неманипулируемый) меха­низм.

Таким образом, в настоящем разделе предложена модель, по­зволяющая оценивать эффективности реализации различных портфелей проектов с точки зрения стратегических целей органи­зации, выражаемых группой заинтересованных лиц. Описаны

процедуры согласования интересов этих лиц и исследованы эф­фекты манипулирования ими информацией.