Классический метод расчета переходных процессов основан на непосредственном решении системы дифференциальных уравнений, составленных для электрической цепи на основе законов Кирхгофа.

В этом случае решение ищется в виде i_k(t)= i_k(t)_{свободная} + i_k(t)_{установившееся}

Свободная составляющая действует в цепи при отсутствии источника в свободном режиме и является общим решением однородного дифференциального уравнения.

Установившаяся составляющая устанавливается источником, теоретически при t→∞ и является частным решением неоднородного уравнения, т.е. определяется правой частью уравнения. Может быть постоянной, если действует источник постоянного тока, гармонической, если гармонического тока(~) и периодической, если периодического тока (напряжения).

Запишем общее решение однородного дифференциального уравнения

где Pm - корни характеристического (вспомогательного) уравнения, соответствующего дифференциальному, а A_Кm - множители, определенные с применением начальных и конечных условий.

Готовое решение проверяют при t=0 и t→∞, сравнивая с результатами, которые получаются по схемам замещения при тех же моментах времени.

Анализ переходных процессов в RLC цепях классическим методом

Последовательные и параллельные RL и RC цепи

C

i(t)

e(t)

t=0 R

RL RC

t=0_ (1) независимые начальные условия

i(0_)=0=i(0) 1закон коммутации

uc(0_)=0=uc(0) 2 закон коммутации

t=0

2 закон Киргофа

t=∞

Используя начальные условия

Для оценки временных свойств цепи вводят понятие «постоянной времени».

Постоянные времени показывают за какой промежуток времени свободная экспоненциальная составляющая уменьшится по абсолютной величине в e раз. За 3τ уменьшение идет в 20раз, за 5τ ≈100раз →длительность переходного процесса оценивают величиной (3-5)τ. За 3τ процесс заканчивается на 95%; за 5τ на 99%.

Если отключить источник, то (в зависимости от того как отключать)

1) размыкаем i=0 эл. дуга←энергия с катушки. В RC емкость будет держать некоторое время заряд.

2) RВН=0 вн сопр

Если отключить на перемычку то все процессы пойдут в обратную сторону.

Переходные процессы в RLC цепях

Последовательная RLC цепь

Подключение источника постоянного напряжении

i

Независимые начальные условия

i(0_-) = 0 = i(0) u_c(0_-) = 0 = u_c(0).

2. t = 0 зависимые н. у. u_R(t) + u_L(t) + u_c(t) = E

0 + u_L(0) + 0 = E

3. t®¥

i(¥) = 0=i_УСТ u_R(¥) = 0 u_L(¥) = 0 u_c(¥) = E

p²+(R/L)p+(1/LC)=0

Корни уравнения:

Определим коэффициенты А₁ и А₂. t=0

Окончательно получаем:

Проверка

4) Определим напряжения u_R, u_L, u_C.

В зависимости от сопротивления R различают различные режимы работы цепи.

1) . Получаем, что p₁ и p₂ – вещественные, отрицательные.

Такой режим работы называют апериодическим.

2) R=R_кр – критический режим работы

= р<0

Графики примерно такие же, но более резкие.

3)

Корни p₁ и p₂ комплексно сопряженные.

, где - частота свободных колебаний (ω₀ – резонансная частота).

- убывающая по экспоненте синусоида.

Режим переходного процесса называется колебательным. Происходит зарядка и разрядка конденсатора. В цепи происходит обмен магнитной и электрической энергиями.

– переходное напряжение на резисторе;

– переходное напряжение на индуктивности.

Найдем выражение для емкости .

Составим второе уравнение для определения неизвестных коэффициентов:

.

Из нулевых начальных условий i(0)=0, u_C(0)=0 получим систему уравнений:

, , .

Поскольку , то , .

После преобразований получим уравнение:

, откуда .

Последнее выражение приведем к виду:

, следовательно .

,

,

.

Переходное напряжение на емкости:

, где ;

Представим на графике соответствующие переходные напряжения:

Квазипериод свободных колебаний:

.

Декремент ослабления (затухания):

.

Логарифмический декремент ослабления:

.

Напряжение при переходном процессе в колебательном режиме может превысить ЭДС– это надо учитывать.

Физическое пояснение колебательного процесса .

Колебания возникают, когда есть хорошая возможность обмена энергией разных видов – здесь при малом сопротивлении магнитная энергия индуктивности легко переходит в электрическую энергию емкости и наоборот.

Отключение источника в последовательной RLC-цепи

Все процессы идут в обратном направлении: емкость разряжается. Характер процесса также определяется корнями характеристического уравнения (сравниваются R и R_кр). Ток меняет направление, соответственно u_R и u_L меняют знак, а u_C остается того же знака.

uC