Расчет переходных процессов в сложных цепях

Для решения цепи необходимо составить 3 ур:

Ур по 1 закону Киргофа и 2ур по 2закону Киргофа

i-i_L-i_C=0

u_R+u_L+u_RK=E

u_C- u_RK-u_L=0

→Классический метод, где напрямую составляются дифференциальные уравнения громоздкий и трудоемкий для сложных цепей.

Английский ученый Хевисайд предложил свой метод расчета переходных процессов.

Этот метод получил название - операторный метод расчета. Здесь используется

операционное исчисление на основе интегральных преобразований Лапласа, понятий оригинала, изображения и действий с ними.

Преобразования Лапласса

f(t) – оригинал F(p)- изображение p комплексная переменная Оригинал должен возрастать не быстрее экспоненты.

Не должно быть скачков ∞ разрыва в оригинале. Допускаются конечные скачки.

Найдем изображение единичной ступенчатой функции Хевисайда

Изображение от производной и интеграла по времени

Используя эти свойства можно от интегральных и дифференциальных уравнений перейти к алгебраическим.

Законы теории цепей в операторном виде

От мгновенных токов и напряжений можно перейти к операторным и рассматривать основные законы в операторном виде, для так называемых операторных схем замещения, поскольку операции преобразования линейные. Рассмотрим схему с источником e(t)=1(t) сопротивлением, индуктивностью и параллельной ей емкостью

Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа.

Эти законы можно записывать в операторной форме.

Операторные схемы замещения реактивных элементов

Для индуктивности получим схему

Для емкости получим

Для предыдущей схемы при нулевых начальных условиях получим

,

D <0 при

Нахождение функции времени в операторном методе

Технически это значит нахождение откликов или реакций электрической цепи при каких-то коммутациях, т.е. зависимости токов или напряжений в электрических цепях. В общем это математическая процедура нахождения оригинала по операторному изображению.

Теоретически можно выделить три способа нахождения:

· по обратному преобразованию Лапласа.

· табличным способом.

Подгонка операторного изображения под какие-то стандартные табличные функции.

Оригинал	Изображение
1(t)

· применение теоремы разложения Хевисайда.

При определении операторных токов и напряжений в RLC -цепях можно увидеть, что они представляют собой дробно-рациональные функции сложного вида.

Хевисайдом была разработана теорема разложения сложной функции на простые с последующим определением оригинала, т.е. тока или напряжения, как функции времени.

Т.е. , где F₁(p) – полином числителя, F₂(p) – полином знаменателя.

Такую функцию можно разложить на элементарные дроби следующим образом:

. Здесь р_К - корни знаменателя F₂(p).

Тогда оригинал легко ищется в виде суммы экспонент: . Причем коэффициенты . Разложение возможно, если старшая степень числителя меньше степени знаменателя.

Если один из корней равен 0, то

Рассмотрим пример:

Корни могут быть комплексно-сопряженными. В этом случае пользуются общей формулой, причем

, если

Для цепи с R_i и параллельными LC получиться при

R_КР

R=500 Ом R=3000 Ом

Существует еще четвертый способ нахождения оригинала применением программных средств (Например: MathCad).

Операторные передаточные функции

Операторная передаточная функция - это отношение операторного изображения реакции или отклика электрической цепи к операторному изображению воздействия на электрическую цепь. Приминается в основном для линейных цепей при нулевых независимых начальных условиях. Техническое название - операторные коэффициенты передачи. В зависимости от вида воздействия и типа реакции различают четыре варианта коэффициентов передач:

· по напряжению U

· по току I

· по сопротивлению Z

· по проводимости. Y

К_U(p) = Т_U(p) = Н_U(p) = U_{ВЫХ (2)}(p)/U_ВХ(1)(p) К_Z(p) = U₂(p)/I₁(p) К_Y(p) = I₂(p)/U₁(p)

В линейных цепях передаточные функции не зависят от воздействия, а определяются только самой электрической цепью. (Бывают передаточные функции не электрического вида).

Передаточные операторные функции являются обобщенными характеристиками электрической цепи. В частном случае они переходят в комплексные частотные характеристики (КЧХ).

КЧХ®р=j·ω