Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте

Емкостное напряжение отстает от тока по фазе на четверть периода (90⁰)

Анализ последовательной RLC -цепи при гармоническом воздействии

На основе второго закона Кирхгофа u = u_R+u_C +u_L или в комплексной

форме

U = U _R + U _C + U _{L .} С учетом

получим

где - комплексное сопротивление RLC - цепи

Преобразовав, получаем, что ,

где - реактивное сопро­тивление, - полное сопротивление цепи, а - угол сдвига фаз RLC цепи.

Запишем закон Ома в комплексной форме с учетом фазовых соотношений :

. Здесь .

Треугольник сопротивлений в RLC – цепи.

- полное сопротивление RLC - цепи,

угол сдвига фаз RLC - цепи.

Рассмотрим зависимости полного сопротивления Z и угла сдвига фаз φ в последовательной RLC -цепи от частоты. На некоторой частоте ω₀может выполняться равенство

ω₀ – резонансная частота RLC - цепи

ω₀

До частоты ω₀ напряжение отстает от тока, после ω₀ напряжение опережает ток.

Рассмотрим зависимость тока и напряжения на резисторе от частоты

Рассмотрим напряжения на индуктивности и емкости

;

Варианты графиков U_L. U_C в RLC – цепи. Графики могут иметь максимумы, а могут и не иметь (это зависит от соотношения величин элементов).

Векторные диаграммы последовательной RLC -цепи

Совокупность нескольких векторов, отображающих токи и напряжения в некоторой цепи, называется векторной диаграммой. Для последовательной RLC – цепи диаграмму строят, откладывая по горизонтали ток, затем также по направлению тока откладывают в масштабе вектор резистивного напряжения, потом из его конца откладывают перпендикулярно вверх вектор индуктивного напряжения и из его конца вниз вектор емкостного.

Вид диаграмм зависит от выбранной частоты по отношению к резонансной.

1) ω<ω₀, U_L < U_C

2) ω=ω₀ → U_L=U_C φ=0

3) ω>ω₀. U_L > U_C

Параллельные RLC - цепи

U = I · Z = I / Y Y – комплексная проводимость, B – реактивная Рассмотрим схему с параллельными RLC - элементами:

Все ее элементы соединены параллельно и находятся под одним и тем же напряжением u(t)=Um▪sin(wt+y_u). Необходимо определить ток в цепи i(t). На основании 1-го закона Кирхгофа в любой момент времени справедливо соотношение
i(t)=i_R(t)+i_L(t)+i_C(t).
Отдельные составляющие токов определяются выражениями
Подставив вместо u(t) гармоническую функцию времени и проведя необходимые математические операции, получим

Будем определять искомый ток в виде i(t)=Im▪sin(wt+ [K1] y_i).
Перейдем к комплексным мгновенным значениям.

Сокращая на e^jwt и учтя, что , получим

или
Выражение в скобках – комплексная проводимость цепи Y
, – резистивная составляющая проводимости,
– реактивная составляющая проводимости. и она может быть равна 0

на какой-то частоте ω₀, которую называют резонансной.

Закон Ома в комплексной форме для цепи записывается
или

Отсюда следует, что при параллельном соединении ветвей цепи комплексная эквивалентная проводимость равна сумме комплексных проводимостей ветвей:

Проанализируем векторную диаграмму параллельной RLC - цепи

Напряжение взято как опорный вектор, ток в резисторе совпадает по фазе с напряжением, ток в индуктивности отстает на 90⁰, а ток емкостной опережает на 90⁰ и меньше (ω<ω₀). Общий ток равен сумме векторов всех токов и он отстает от напряжения по фазе.

Принцип дуальности в электрических цепях

В электрических цепях есть некоторые понятия, которые с одной стороны противоположны друг другу, а с другой стороны взаимосвязаны и дополняют друг друга (из физики: электромагнитное поле - электрическое поле и магнитное поле). Такие понятия, величины называются дуальными.

У дуальных величин формы записи и математические уравнения одинаковы.

Напряжение ток

Контур узел

Закон Кирхгофа 2 закон Кирхгофа

Сопротивление проводимость

U = I · ZI = U · Y

L C

Последовательная цепь параллельная цепь

ИИН ИИТ

Формулы, полученные для некоторой цепи можно формально распространить на дуальные величины в дуальной цепи. Дуальные величины ведут себя одинаково в дуальных цепях, а такие же будут вести себя противоположно в тех же условиях.

Пример 2 Здесь Е1- источник постоянной эдс, а j2 – источник переменного тока .

В данном случае мы можем использовать только метод наложения. Составим две схемы замещения, в первой из которых рассчитываются частичные токи от источника постоянной эдс. Поэтому в ней индуктивность заменена перемычкой, а емкость – разрывом. Во второй схеме рассчитываются частичные токи от источника переменного тока и здесь необходимо перевести все токи, напряжения и сопротивления в комплексную форму и записать законы Кирхгофа в комплексной форме.

I1E1 IR2E1 C i1 j2 iR2 j2 ic j2 L I3E1 i2 = j2 i3 j2

I_1E1=E1/(R1+R2)=I_2E1=I_3E1. Тут надо составлять уравнения по МКТ в комплексной форме. Например, по 1 закону

I _1J2+ I _R2J2+ I _CJ2 –J₂=0, - I _CJ2 - I _R2J2+ I _3J2=0.

Можно использовать и общую проводимость относительно источника тока. , , , . Аналогично остальные токи

В итоге получается, что i₁=I_1E1+i_{1 j2}, i_R2=I_R2E1 – i_R2j2, ic=i_cj2,

i₃=I_3E1 – i_3j2, i₂=j₂.