Приведение рядов динамики к одному основанию

Показатели	Кварталы
I	II	III
1. Среднемесячная выработка рабочего, шт.
2. Среднемесячная заработная плата рабочего, ден. ед.
3. Темп роста среднемесячной выработки (выработка I квартала = 100%), %	100,0	102,7	105,4
4. Темп роста среднемесячной заработной платы (зарплата I квартала = 100%), %	100,0	101,7	103,4

Из данных таблицы видно, что среднемесячная выработка и заработная плата рабочего увеличиваются, однако разная размерность и разный исходный уровень этих показателей не позволяют определить, уровень какого из них изменяется более быстрыми темпами. В этой связи оба динамических ряда приводят к одному основанию, приняв в качестве базы сравнения начальный уровень ряда. Из расчета видно, что среднемесячная выработка увеличивается более быстрыми темпами, чем среднемесячная заработная плата.

4. Чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического ряда во времени используется аналитическое выравнивание ряда динамики. В этом случае фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивают как функцию времени , где – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени . В таблице 9.8 приведены различные виды трендовых моделей, наиболее часто используемые для аналитического выравнивания.

Таблица 9.8

Виды трендовых моделей

Название функции	Описание функции
1. Линейная
2. Парабола второго порядка
3. Кубическая парабола

и т.д.

Определение расчетных уровней у_t производится на основе адекватной математической функции, наилучшим образом отображающей основную тенденцию ряда динамики. Подбор функции осуществляется методом наименьших квадратов. Суть его состоит в том, что эмпирические уровни ряда заменяются плавной линией выровненных уровней таким образом, чтобы сумма квадратов этих отклонений была равна 0.

. (9.23)

Аналитическое выравнивание по прямой линии производится в том случае, если наблюдается равномерный абсолютный прирост.

Уравнение имеет вид:

, (9.24)

где – расчетные уровни ряда; – порядковый уровень времени; – свободный параметр (если , то ); – параметр динамики, показывающий как в среднем изменится , если увеличится на 1.

Для определения параметров и необходимо решить систему нормальных уравнений:

.

Решение можно упростить, если , тогда:

; (9.25)

. (9.26)

Пример 8. Произвести выравнивание по прямой линии (табл. 9.10).

Таблица 9.10

Данные о строительстве жилья

Годы	Построено жилья, млн. кв. м	Условные обозначения периодов,			Выровненные уровни ряда динамики, млн. кв. м,
	2,9	-2	-5,8		2,76	0,14	0,0196

 

	2,4	-1	-2,4		2,49	-0,09	0,0081
	2,1				2,22	-0,12	0,0144
	1,9	+1	1,9		1,95	-0,05	0,0025
	1,8	+2	3,6		1,68	0,12	0,0144
Итого	11,1		-2,7		11,1		0,0590

Используя итоги граф 2, 4 и 5 определим параметры уравнения прямой:

;

.

По рассчитанным параметрам записываем уравнение прямой ряда динамики, характеризующее строительство жилья:

.

Рассчитываем для каждого года теоретические значения, исходя из уравнения:

для 2003г. ,

для 2004г. и т.д.

Правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выровненного ряда, т.е.

(см. итоги граф 2 и 6).

Продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, носит название экстраполяции. Экстраполируя при , находим уровень 2008г. .

Если для уравнения тренда подходят одновременно несколько функций, то отбор оптимальной производится по величине стандартизированной ошибки аппроксимации, которая вычисляется по формуле:

. (9.27)

Аппроксимация – это приближенное выражение одних функций другими.

Чем меньше величина стандартизированной ошибки , тем лучше уравнение тренда отражает тенденцию развития.

Используя данные примера 8, рассчитаем среднюю квадратическую ошибку линейного тренда:

млн. кв. м