Задача 6. Непрерывная случайная величина



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Задача 6. Непрерывная случайная величина



Условия вариантов задачи

В задачах 6.1-6.40 (параметры заданий приведены в табл. 6.1) случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .

Таблица 6.1

Вариант x,c) a b a b
6.1 -3 -0,5 1,5
6.2 0,5
6.3 -1 0,5
6.4 -1 -1
6.5 -2
6.6 -2 -1
6.7 p/2 p/4 p/2
6.8 p/2 p/4 p
6.9 p/3 -1
6.10 -p/2 p/2
6.11 -p/4 p/4 0,5
6.12 c e-x
6.13 c e-2x
6.14 5 e-cx
6.15 c -2 1,5
6.16 c ex 0,5
6.17 c x5 0,5 0,7
6.18 c x6 -1
6.19 c x7 0,25
6.20 c x8 -1
6.21 c x9 0,25
6.22 c x10 -1 -0,5 0,5
6.23
6.24 2,5
6.25 1,5
6.26
6.27
6.28 1,5
6.29
6.30
6.31 0,5 1,5
6.32
6.33 p p/2
6.34 -p/6 p/6
6.35 c x5
6.36 c x6 -2 -1
6.37 c x7 0,5 0,7
6.38 c x8 -2 -0,5 0,25
6.39 c x9 1,5
6.40 c x10 -2 -1 1,5

 

Методические указания

 

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) – непрерывная и дифференцируемая функция для всех значений аргумента.

Плотность распределения (или плотность вероятности) f(x) непрерывной случайной величины X в точке x характеризует плотность вероятности в окрестностях точки x и равна производной функции распределения этой СВ:

. (6.1)

График плотности распределения называется кривой распределения.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

. (6.2)

В геометрической интерпретации вероятность равна площади, ограниченной сверху кривой распределения f(x) и отрезком .

Соотношение (6.2) позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

(6.3)

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) 0. Причем f(x) = 0 для тех значений x, которые СВ никогда не принимает в опыте.

2. Условие нормировки:

(6.4)

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и для непрерывной СВ определяется по формуле

(6.5)

Дисперсияслучайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и для непрерывной СВ определяется по формуле

. (6.6)

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому для анализа диапазона значений величины Х дисперсия не совсем удобна. Этого недостатка лишено среднее квадратическое отклонение (СКО), размерность которого совпадает с размерностью случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X характеризует ширину диапазона значений X и равно

. (6.7)

Правило . Практически все значения случайной величины находятся в интервале

. (6.8)

Примеры

Пример 6.1. Случайная величина X распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида

Определить константу с, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .

Решение. Вначале вычислим значение константы с из условия нормировки (6.4). Условие нормировки представляет собой интегральное уравнение, из которого можно определить неизвестный параметр плотности вероятности. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормировки:

.

Из условия нормировки следует:

.

Плотность вероятности примет вид

Определим функцию распределения F(x). Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную - функцию распределения – будем искать по формуле (6.3) для каждого интервала в отдельности.

Для : ,

для : ,

для : .

Окончательно имеем

Вычислим вероятность по формуле (6.2):

.

Так как правый край интервала больше, чем , то .

Вычислим математическое ожидание СВ по формуле (6.5):

Дисперсиюслучайной величины СВ вычислим по формуле (6.6):

Пример 6.2. Определить по правилу диапазон возможных значений СВ X из примера 6.1.

Решение. Вычислим среднее квадратическое отклонение СВ по формуле (6.7):

Оценим диапазона значений X по формуле (6.8):

Как видим, получился интервал, полностью охватывающий точный диапазон значений СВ , который можно определить по свойству 1 плотности вероятности.

 

 

Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента

Условия вариантов задачи

В задачах 7.1-7.40 (условия приведены в табл. 7.1) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=j(X) и определить плотность вероятности g(y).

Таблица 7.1

Вариант a b
7.1 -1
7.2
7.3 -3
7.4 -6
7.5 -4
7.6 -1
7.7 -1
7.8 x4 -2
7.9 -2
7.10 -2
7.11 -4
7.12 -3
7.13
7.14 -4
7.15 0,75p
7.16 p/2
7.17 p/6 p/3
7.18 -p/4 p/2
7.19 ex
7.20 -1
7.21
7.22 x1/3 -1
7.23 1/3 -8
7.24 -p/2 p/3
7.25 -p/6 p/2
7.26 1,5p
7.27
7.28 -1
7.29
7.30 1/4 -1
7.31 -3
7.32 -1
7.33 -2
7.34 -3
7.35 0,75p
7.36 -p/4 p/2
7.37
7.38 -p/2 p/3
7.39
7.40 1/4 -1

Методические указания

 

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента . Если X – непрерывная случайная величина с известной плотность вероятности , то алгоритм получения плотность вероятности g(y) величины Y следующий:

1. Построить график и определить диапазон значений .

2. Диапазон Y разбить на M интервалов, в каждом из которых одинаковая степень неоднозначности ki, i=1,2, …, M:

.

Степень неоднозначности ki – число значений Х, соответствующих одному значению Y, или число обратных функций для данного интервала, j = 1,2, …, ki.

3. Определить обратные функции и вычислить модули производных обратных функций . В общем случае число обратных функций в i-м интервале равно ki.

4. Определить плотность вероятностей по следующей формуле:

(7.1)

Примеры

Пример 7.1. Определить плотность вероятности величины , если X - случайная величина, равномерно распределенная на интервале .

Решение.1. Построим график величины для x в интервале и определим диапазон значений Y: (рис. 7.1).

Рис. 7.1

 

2. В зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для Y:

3. На интервалах и обратные функции не существует.

В интервале две обратных функции:

и .

Вычислим модули производных обратных функций :

В интервале одна обратная функция , следовательно,

.

4. Так как Х равномерно распределена в интервале [-1, 2], то ее плотность вероятности равна

По формуле (7.1) получим плотность вероятности величины Y



Последнее изменение этой страницы: 2016-08-14; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.184.215 (0.014 с.)