Задача 6. Непрерывная случайная величина

Условия вариантов задачи

В задачах 6.1-6.40 (параметры заданий приведены в табл. 6.1) случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .

Таблица 6.1

Вариант	x,c)	a	b	a	b
6.1		-3		-0,5	1,5
6.2				0,5
6.3		-1			0,5
6.4		-1		-1
6.5				-2
6.6		-2		-1
6.7			p/2	p/4	p/2
6.8			p/2	p/4	p
6.9			p/3	-1
6.10		-p/2	p/2
6.11		-p/4	p/4	0,5
6.12	c e^-x
6.13	c e^-2x
6.14	5 e^-cx
6.15	c	-2		1,5
6.16	c e^x				0,5
6.17	c x^5			0,5	0,7
6.18	c x^6	-1
6.19	c x^7				0,25
6.20	c x^8	-1
6.21	c x^9				0,25
6.22	c x^10	-1		-0,5	0,5
6.23
6.24					2,5
6.25					1,5
6.26
6.27
6.28					1,5
6.29
6.30
6.31				0,5	1,5
6.32
6.33			p		p/2
6.34		-p/6	p/6
6.35	c x^5
6.36	c x^6	-2		-1
6.37	c x^7			0,5	0,7
6.38	c x^8	-2		-0,5	0,25
6.39	c x^9				1,5
6.40	c x^10	-2		-1	1,5

 

Методические указания

 

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) – непрерывная и дифференцируемая функция для всех значений аргумента.

Плотность распределения (или плотность вероятности) f (x) непрерывной случайной величины X в точке x характеризует плотность вероятности в окрестностях точки x и равна производной функции распределения этой СВ:

. (6.1)

График плотности распределения называется кривой распределения.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

. (6.2)

В геометрической интерпретации вероятность равна площади, ограниченной сверху кривой распределения f (x) и отрезком .

Соотношение (6.2) позволяет выразить функцию распределения F (x) случайной величины X через ее плотность:

(6.3)

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f (x) 0. Причем f (x) = 0 для тех значений x, которые СВ никогда не принимает в опыте.

2. Условие нормировки:

(6.4)

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и для непрерывной СВ определяется по формуле

(6.5)

Дисперсияслучайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и для непрерывной СВ определяется по формуле

. (6.6)

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому для анализа диапазона значений величины Х дисперсия не совсем удобна. Этого недостатка лишено среднее квадратическое отклонение (СКО), размерность которого совпадает с размерностью случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X характеризует ширину диапазона значений X и равно

. (6.7)

Правило . Практически все значения случайной величины находятся в интервале

. (6.8)

Примеры

Пример 6.1. Случайная величина X распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида

Определить константу с, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .

Решение. Вначале вычислим значение константы с из условия нормировки (6.4). Условие нормировки представляет собой интегральное уравнение, из которого можно определить неизвестный параметр плотности вероятности. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормировки:

.

Из условия нормировки следует:

.

Плотность вероятности примет вид

Определим функцию распределения F(x). Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную - функцию распределения – будем искать по формуле (6.3) для каждого интервала в отдельности.

Для : ,

для : ,

для : .

Окончательно имеем

Вычислим вероятность по формуле (6.2):

.

Так как правый край интервала больше, чем , то .

Вычислим математическое ожидание СВ по формуле (6.5):

Дисперсиюслучайной величины СВ вычислим по формуле (6.6):

Пример 6.2. Определить по правилу диапазон возможных значений СВ X из примера 6.1.

Решение. Вычислим среднее квадратическое отклонение СВ по формуле (6.7):

Оценим диапазона значений X по формуле (6.8):

Как видим, получился интервал, полностью охватывающий точный диапазон значений СВ , который можно определить по свойству 1 плотности вероятности.

 

 

Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента

Условия вариантов задачи

В задачах 7.1-7.40 (условия приведены в табл. 7.1) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [ a,b ]. Построить график случайной величины Y=j(X) и определить плотность вероятности g(y).

Таблица 7.1

Вариант		a	b
7.1		-1
7.2
7.3		-3
7.4		-6
7.5		-4
7.6		-1
7.7		-1
7.8	x^4	-2
7.9		-2
7.10		-2
7.11		-4
7.12		-3
7.13
7.14		-4
7.15			0,75p
7.16			p/2
7.17		p/6	p/3
7.18		-p/4	p/2
7.19	e^x
7.20		-1
7.21
7.22	x ^1/3	-1
7.23	^1/3	-8
7.24		-p/2	p/3
7.25		-p/6	p/2
7.26			1,5p
7.27
7.28		-1
7.29
7.30	^1/4	-1
7.31		-3
7.32		-1
7.33		-2
7.34		-3
7.35			0,75p
7.36		-p/4	p/2
7.37
7.38		-p/2	p/3
7.39
7.40	^1/4	-1

Методические указания

 

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента . Если X – непрерывная случайная величина с известной плотность вероятности , то алгоритм получения плотность вероятности g (y) величины Y следующий:

1. Построить график и определить диапазон значений .

2. Диапазон Y разбить на M интервалов, в каждом из которых одинаковая степень неоднозначности k_i, i =1,2, …, M:

.

Степень неоднозначности k_i – число значений Х, соответствующих одному значению Y, или число обратных функций для данного интервала, j = 1,2, …, k_i.

3. Определить обратные функции и вычислить модули производных обратных функций . В общем случае число обратных функций в i -м интервале равно k_i.

4. Определить плотность вероятностей по следующей формуле:

(7.1)

Примеры

Пример 7.1. Определить плотность вероятности величины , если X - случайная величина, равномерно распределенная на интервале .

Решение. 1. Построим график величины для x в интервале и определим диапазон значений Y: (рис. 7.1).

Рис. 7.1

 

2. В зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для Y:

3. На интервалах и обратные функции не существует.

В интервале две обратных функции:

и .

Вычислим модули производных обратных функций :

В интервале одна обратная функция , следовательно,

.

4. Так как Х равномерно распределена в интервале [-1, 2], то ее плотность вероятности равна

По формуле (7.1) получим плотность вероятности величины Y