Оценка регрессионных характеристик



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Оценка регрессионных характеристик



Регрессией случайной величины Y на x называется условное математическое ожидание случайной величины Y при условии, что X = x. Регрессия Y на x устанавливает зависимость среднего значения величины Y от величины X. Если случайные величины X и Y независимы, то

Необходимо на основании имеющейся выборки выявить характер связи между величинами X, Y, т.е. получить оценку условного математического ожидания - оценку регрессии Y на х. Данная оценка представляет собой некоторую функцию:

,

где – неизвестные параметры.

Для определения типа зависимости строится диаграмма рассеивания или корреляционное поле, которую можно получить, если результаты опытов изобразить в виде точек на плоскости в декартовой системе координат. На основании анализа корреляционного поля выбираем тип линии регрессии . Значения параметров для выбранного типа определяются так, чтобы функция наилучшим образом соответствовал бы неизвестной регрессии , т.е. ее значения должны быть приблизительно равны средним арифметическим значений Y для каждого значения Х = х.

Если величины X и Y распределены по нормальному закону, то регрессия является линейной:

Оценки параметров для линейной регрессии определяются по формулам

(11.8)

где – оценки математического ожидания величин X и Y;

– оценка дисперсии величины X;

– оценка корреляционного момента величин X и Y.

Для визуальной проверки правильности вычисления величин необходимо построить диаграмму рассеивания и график . Если оценки параметров рассчитаны без грубых ошибок, то сумма квадратов отклонений всех значений (точек) двухмерной выборки от прямой должна быть минимально возможной.

Примеры

Пример 11.1. По выборке двухмерной случайной величины, которая содержит 50 пар значений (x,y) (первые два столбца таб. 11.1):

– вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

– вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ= 0,95);

– проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости (a = 0,05);

– вычислить оценки параметров и линии регрессии ;

– построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться приведенной ниже таблицей. Значения в 3-ем, 4-ом и 5-ом столбцах вычисляются по формулам, приведенными в первой строке таблицы. В последней строке таблицы приведены средние арифметические значений каждого из столбцов. Таким образом получены:

- оценки математических ожиданий по каждой переменной (см. (11.1)):

5,08 (см. столбец 2),

5,21 (см. столбец 3);

- оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

34,55755 (см. столбец 4),

36,09954 (см. столбец 5);

- оценка смешанного начального момента второго порядка:

27,98996 (см. столбец 6).

 

Таблица 11.1

x y x2 y2 x*y
8,974883 9,784539 80,54853 95,73721 87,8151
1,271096 5,058748 1,615685 25,59093 6,430154
3,967406 6,383251 15,74031 40,7459 25,32495
6,841945 1,953795 46,81221 3,817315 13,36776
3,341777 5,445723 11,16747 29,6559 18,19839
6,009095 1,657155 36,10922 2,746163 9,958001
3,806879 1,750542 14,49233 3,064396 6,6641
4,714805 0,509049 22,22938 0,259131 2,400065
8,8464 2,334056 78,2588 5,447816 20,64799
4,395581 1,568651 19,32113 2,460667 6,895134
2,179632 2,34901 4,750795 5,517846 5,119977
5,651112 9,857173 31,93507 97,16387 55,70399
3,278298 4,774926 10,74724 22,79992 15,65363
0,369579 2,23365 0,136589 4,989191 0,82551
8,991363 1,784112 80,84461 3,183056 16,0416
8,873562 2,211371 78,7401 4,890163 19,62274
0,347606 0,58504 0,12083 0,342272 0,203363
3,643605 5,025178 13,27586 25,25241 18,30976
8,600116 1,547594 73,96199 2,395046 13,30948
6,193731 3,268838 38,36231 10,6853 20,2463
9,565111 1,426435 91,49135 2,034717 13,64401
8,646809 8,410901 74,76731 70,74326 72,72746
0,328074 9,496139 0,107633 90,17666 3,115436
6,583453 8,498489 43,34185 72,22432 55,9494
7,376934 9,40611 54,41916 88,4749 69,38825
4,722129 7,369304 22,2985 54,30665 34,79881
0,216987 4,574725 0,047083 20,9281 0,992654
1,993774 5,678579 3,975136 32,24626 11,3218
9,5468 9,927671 91,14139 98,55865 94,77749
7,572253 9,053316 57,33901 81,96253 68,55399
4,035768 7,796869 16,28742 60,79116 31,46635
4,425794 3,689077 19,58765 13,60929 16,3271
4,788659 0,793786 22,93126 0,630097 3,801173
1,951964 4,702902 3,810163 22,11729 9,179895
1,539354 9,467757 2,36961 89,63843 14,57423
4,251534 7,547838 18,07554 56,96985 32,08989
9,650868 7,558214 93,13926 57,1266 72,94333
5,616932 7,811213 31,54992 61,01504 43,87505
1,975768 2,663045 3,90366 7,091809 5,26156
9,783319 9,700919 95,71332 94,10782 94,90718
4,645833 5,125278 21,58376 26,26848 23,81119
4,516434 8,537248 20,39818 72,8846 38,55792
0,844447 2,955412 0,713091 8,734463 2,49569
8,093509 7,561266 65,50488 57,17274 61,19717
1,636402 5,603198 2,677813 31,39583 9,169088
9,240089 4,370251 85,37925 19,09909 40,3815
7,904599 4,388867 62,48269 19,26215 34,69223
7,087313 7,297891 50,23001 53,25922 51,72244
2,466811 2,405164 6,085157 5,784813 5,933085
2,71218 7,043977 7,35592 49,61761 19,10453
Средние 5,080367 5,218885 34,55755 36,09954 27,98996

 

На основе этих данных легко вычислить оценки дисперсий (см. (11.2)):

8,74746;

8,86278

и оценку корреляционного момента (см. (11.3))

1,476106

Вычислим точечную оценку коэффициент корреляции по формуле (11.4):

0,168.

 

Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с надежностью γ = 0,95 по формуле (11.5). Для этого в таблице функции Лапласа (см. Приложение 2) найдем значение, равное и определим значение аргумента, ему соответствующее: (строка 1,9, столбец 6). Вычислим вспомогательные значения a, b:

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид

Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости:

Так как объем выборки велик (n ≥ 50 ), то вычислим значение критерия по формуле (11.7):

.

Определим значение Zα из таблицы функции Лапласа (см. Приложение 2):

Так как , то гипотеза H0 принимается, т.е. величины X и Y некоррелированны.

Вычислим оценки параметров и линии регрессии по формуле (11.8):

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Построим диаграмму рассеивания, изобразив значения исходной двумерной выборки в виде точек с координатами на плоскости в декартовой системе координат, и линию регрессии (рис. 11.1).

 

Рис. 11.1 Диаграмма рассеивания и линия регрессии



Последнее изменение этой страницы: 2016-08-14; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.204.2.146 (0.007 с.)