Основные комбинаторные формулы

При решении задач по классическому определению вероятности используются следующие комбинаторные формулы.

Размещения:

– без повторений элементов

(1.6)

– c повторением элементов

(1.7)

Формулы для размещений позволяет подсчитать количество комбинаций из n элементов по m, где комбинации будут отличаться как самими элементами, так и расположением их относительно друг друга.

Сочетания:

– без повторений элементов

. (1.8)

– с повторением элементов

(1.9)

Формулы для сочетаний позволяет подсчитать количество комбинаций из n элементов по m, где комбинации будут отличаться только самими элементами, т.е. каждая комбинация хотя бы одним элементом должна отличаться от другой.

Перестановки:

(1.10)

Формула для перестановок позволяет подсчитать количество комбинаций из n элементов, где комбинации будут отличаться только расположением их относительно друг друга.

Примеры

Пример 1.1. Какова вероятность того, что наудачу взятый телефонный номер из 7 цифр имеет все цифры различные.

Решение. Определим событие А. Событие А состоит в том, что в семизначном номере все цифры различны. Так как номер семизначный, а цифр всего 10, то общее число исходов n опыта равно числу размещений c повторением элементов из 10 по 7: . Для подсчета благоприятствующих исходов подходит формула для размещений без повторения элементов: . Тогда

.

Пример 1.2. Наудачу взяты два положительных числа x и y, причем . Найти вероятность того, что и , если .

Решение. Подставляя значения коэффициентов в неравенства, получаем:

(1.11)

Строим на рис. 1.2 оси координат и область, которая определяет пространство элементарных событий Ω. Она задается неравенствами и на рисунке 1.2 отображается в виде прямоугольника.

Рис. 1.2.

Площадь прямоугольника . Область благоприятствующих исходов определяется неравенствами (1.11), поэтому строим на рисунке прямые, которые задаются неравенствами (1.11). Заштрихованная на рисунке 1.2 область и описывает благоприятствующие исходы (с учетом всех возможных значений), площадь этой заштрихованной трапеции равна [у. е.]. Тогда вероятность события А равна

.

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

 

Условия вариантов задачи

Ниже приведены 40 вариантов задачи 2. Номер варианта задачи, которую студент должен решить, указан в индивидуальном задании.

 

В задачах 2.1-2.40 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q₁=0,1; q₂=0,2; q₃=0,3; q₄=0,4; q₅=0,5 q₆=0,6. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

 

 

 

 

 

 

 

Методические указания

Вероятность суммы (объединения) двух произвольных случайных событий (т.е. тех, которые могут происходить совместно) равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления:

. (2.1)

Для трех произвольных событий:

(2.2)

Для n произвольных событий:

. (2.3)

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет. В противном случае события являются зависимыми.

Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная при условии (в предположении), что событие А произошло. Для независимых событий .

Вероятность произведения (пересечения) двух случайных событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого.

. (2.4)

Для независимых событий

. (2.5)

Вероятность произведения n произвольных событий равна

(2.6)

где ) – условная вероятность появления события , при условии, что события в данном опыте произошли, .

 

В случае независимых событий данная формула упрощается:

. (2.7)

Примеры

Пример 2.1. Вычислительная машина (ВМ) состоит из n блоков. Вероятность безотказной работы в течении времени Т (надежность) первого блока равна p ₁, второго – p ₂, и т.д. Блоки отказывают независимо друг от друга. При отказе любого блока отказывает ВМ. Найти вероятность того, что ВМ откажет за время Т.

Решение. Рассмотрим события А ₁ – отказывает 1-й блок, А ₂ – отказывает 2-й блок и т.д.. Пусть событие В – отказ вычислительной машины. Это событие произойдет тогда, когда выполнится или событие А ₁, или событие А ₂ и т.д.. Видим, что следует применять теорему о сумме или объединении n произвольных событий, формула (2.3):

.

События A_i являются независимыми, поэтому правая часть запишется в виде:

.

Вероятности противоположных событий (здесь событие ‑ i -й блок работает) даны в условии, т.е. Окончательно получаем

.

Пример 2.2. Дана схема электрической цепи (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Вероятности работы элементов цепи 1, 2, 3 соответственно равны . Элементы цепи отказывают независимо друг от

друга. Найти вероятность того, что ток пройдет из точки 1 в точку 2.

Решение. Опишем через события работу элементов цепи. Пусть событие А ₁ состоит в том, что работает элемент 1, событие А ₂ – элемент 2, событие А ₃ –элемент 3. Тогда вероятности этих событий запишутся так: . Найдем вероятности противоположных событий (т.е. того, что элементы 1, 2, 3 не работают и ток через них не идет), используя (1.3):

.

Анализируем заданную цепь и определяем участки цепи с последовательным и параллельным соединением. На рис. 2.1 элементы 2, 3 соединены параллельно. А элемент 1 соединен последовательно с элементами 2, 3. Поэтому введем событие А состоящее в том, что ток пройдет из точки 1 в точку 3, оно выполнится тогда, когда будет работать элемент 1. Можно записать: А=А ₁. Введем событие В, состоящее в том, что ток пройдет из точки 2 в точку 3; оно произойдет тогда, когда будут работать или элемент 2, или элемент 3. Тогда событие В можно описать так: . Рассмотрим событие С состоящее в том, что ток пройдет из точки 1 в точку 2, оно выполнится тогда, когда выполнится и событие А и событие В. Событие С запишется так: . По условию задачи необходимо найти вероятность события С (учтем, что события А и В независимы), используем (2.5):

(2.8)

Найдем вероятности событий, входящих в правую часть формулы (2.8):

, а см. формулу (2.3)

Подставляя полученные значения в формулу (2.8), получим