Раздел 2. Случайные величины

В этом разделе содержится материал о случайных величинах: дискретных и непрерывных. Приводятся определения и описываются способы задания случайных величин с помощью ряда распределения и функции распределения. Способы определения плотности вероятности зависят от того, какое распределение имеет случайная величина. Рассматривается решение задач, в которых необходимо вычислить числовые характеристики случайных величин, а также написать выражение для плотности вероятности случайной величины, если она имеет биномиальное распределение, равномерное распределение или нормальное распределение.

Изучение материала раздела заканчивается ответами на вопросы для самопроверки и рассмотрением репетиционного теста №2, приведенного в Блоке контроля и освоения дисциплины. После того, как эта часть работы проделана, студент может приступить к выполнению задачи № 2 из Методических указаний по выполнению контрольной работы по вычислительной математике, основам теории вероятностей и элементам математической статистики [ 8 ].

 

Описание случайных величин

2.1.1. Определение и способы задания случайной величины

Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:

1) число попаданий в цель при трех выстрелах.

Возможные результаты таковы: 0,1,2 или 3 раза попадания.

2) число вызовов, поступивших на телефонную станцию за сутки. Значениями может быть любое число от 1, 2, 3,….

Случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать различные значения, причем заранее неизвестно, какое именно, и известны вероятности, с которыми случайная величина принимает каждое конкретное значение.

Определение. Любое соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами x, h, q, а их возможные значения – латинскими буквами с индексами x_i, y_i, z_i.

Пример 2.1. Обозначим буквой x число гербов, выпавших при подбрасывании монеты три раза. Это число зависит от случайных результатов подбрасывания и поэтому будет случайной величиной. В этом примере случайная величина x может принять четыре значения 0,1,2,3, но невозможно предсказать какое из них. Найдем вероятности этих значений. Пространство элементарных событий в этом примере состоит из восьми упорядоченных троек

={ω₁ = ГГГ, ω₂ = ГГЦ, ω₃ = ГЦГ, ω ₄= ЦГГ, ω₅ = ГЦЦ, ω₆ = ЦГЦ, ω₇= ЦЦГ, ω₈ = ЦЦЦ },

где Г обозначает выпадение герба при одном подбрасывании, а Ц – выпадение цифры.

Обозначим через А_i событие, в котором при подбрасывании монеты появились i гербов (i= 0,1,2,3). Каждое событие А_i является составным событием и содержитвсе элементарные события ω_i ,которые привели к появлению i гербов:

А_i= { }.

Следовательно,

A ₀ = { } = { ЦЦЦ }, A ₁={ }={ ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ },

A ₂ = { }={ ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ }, A ₃={ }={ ЦЦЦ }.

Дополнительно предположим, что подбрасывают правильную монету. Тогда из независимости испытаний следует, что вероятность каждого элементарного события ω _i равна * * = . Из классического определения вероятности события A_i имеют вероятности, равные

p ₀ =P (A ₀) = P{ЦЦЦ }= , p ₁ =P (A ₁) =P { ГЦЦ,ЦГЦ, ЦЦГ } = ,

p ₂ =P (A ₂) =P { ГГЦ,ГЦГ,ЦГГ } = , p ₃ =P (A ₃) =P { ЦЦЦ } = .

Отметим, что все события A_i несовместны и составляют пространство элементарных несовместных событий , т.е.

W = A ₀ +A ₁ +A ₂ +A ₃.

Из аксиом вероятности следует равенство

р( W) = р(A ₀ +A ₁ +A ₂ +A ₃) = p (A ₀) + p (A ₁) + p (A ₂) + p (A ₃) = 1.

Составим таблицу из полученных возможных значений этой случайной величины и соответствующих вероятностей:

 

ξ

 

Пример 2.2. Производится один выстрел по плоской круглой мишени радиуса R. Учитываются только выстрелы, которые приводят к попаданию в мишень. В качестве случайной величины рассмотрим расстояние x от точки попадания до центра мишени. Тогда множество возможных значений случайной величины образует числовой интервал [0, R ]. Предположим, что любая точка мишени может быть поражена с одинаковой вероятностью. Отсюда следует, что с одинаковой вероятностью случайная величина x принимает любое значение из интервала [0, R ]. В этом случае вероятность того, что расстояние x не превзойдет числа x (0≤ x ≤ R), можно найти из геометрического определения вероятности по формуле R (x £ x) = x/R. Очевидно, что при x>R вероятность R (x £ x)=1, а при x <0 вероятность R (x £ x)=0.

Из приведенных примеров видно, что случайной величиной являетсяфункция f, которая каждому элементарному событию w ставит в соответствие число ¦ (w). Эти числа ¦ (w) называют возможными значениями случайной величины.

В зависимости от множества возможных значений случайной величины выделяют два типа случайных величин:

а) дискретная случайная величина – это величина, значения которой можно (пересчитать) перенумеровать;

б) непрерывная случайная величина – это такая величина, значения которой заполняют целиком некоторый промежуток числовой оси или всю числовую ось.

Определение. Функция распределения F(x) случайной величины x определяется равенством

F (x) =P (w: ¦ (w) £ x), (2.1)

для всех действительных чисел x.

В примере 2.2функция распределения определяется формулой

.