Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности

Заметим, что всякое событие есть некоторое высказывание о результатах рассматриваемого эксперимента. При многократном проведении опыта с соблюдением некоторого комплекса условий S возможны различные исходы:

1) в каждом из опытов можно наблюдать один и тот же результат;

2) ни в одном из опытов интересующий результат не появился;

3) в ряде опытов интересующий результат можно было наблюдать, а в оставшихся опытах этого не происходило.

В первом случае говорят, что происходит достоверное событие.

Во втором случае речь идет о невозможном событии.

В третьем случае говорят, что происходит случайное событие.

Однако случайность события по отношению к комплексу условий S не означает отсутствия всякой закономерной связи между ними.

Будем обозначать случайные события большими латинскими буквами: A, B, C, D, F и т. д.

Допустим, что производится серия из n одинаковых опытов. В каждом из

опытов интересующее событие, назовем его А, может произойти или не произойти. В результате наблюдений за опытами замечено, что событие А появилось m раз, обозначим как m(А).

Определение. Частотой события А (относительной частотой) называется величина, равная отношению числа опытов, в которых событие А произошло, ко всем проводимым опытам n, т.е. .

Экспериментально установлено, что для многих опытов, в которых рассматривается появление случайного события А, имеет место закон устойчивости относительных частот: если при неограниченном увеличении числа опытов n относительная частота события A колеблется около некоторого числа p(A), то число p (A) называют вероятностью события A, а само это свойство называют законом устойчивости относительных частот.

Из определения видно, что частота имеет свойства:

1) m _n (W)=1;

2) m _n (Ø)=0;

3) 0 =< m _n (A) <= 1;

4) m _n (A+B)= m _n (A)+m _n (B), если события несовместны, т.е. такие, которые не могут происходить вместе.

Из закона устойчивости относительных частот следует, что вероятность события является в некотором смысле пределом относительной частоты этого события. Поэтому свойства относительной частоты событий можно перенести

в качестве аксиом на вероятность этих событий.

1) p (W) =1 - вероятность достоверного события равна 1;

2) p (Ø) = 0 - вероятность невозможного события равна 0;

3) 0 =< p (A) = < 1 - это означает, что вероятность любого события не может быть меньше 0 и больше 1.

4 ) аксиома конечной аддитивности: если события A и B несовместны, то

p (A+B) = p (A) +p (B).

На основании этих аксиом можно получить формулу для классического определения в ероятности:

Р (А) = m / n, (1.1)

т.е. вероятность любого события есть величина, равная отношению числа m опытов (исходов), в которых событие А произошло, к общему числу проводимых опытов n, причем возможность появления каждого из элементов одинакова.

Пример 1.8. В ящике находятся 15 хороших деталей и 10 бракованных.

Найти вероятность того, что при изъятии одной детали из ящика, она окажется бракованной (обозначим как событие А).

Решение. Общее число деталей в ящике n = 15+10=25. Число исходов, соответствующих тому, что выбрана бракованная деталь, m = 10. Следовательно, вероятность того, что будет вынута бракованная деталь, равна

Р(А) = m / n = 10/25= 2/3.