Расчет вероятности безотказной работы прибора

Рассмотрим примеры, в которых требуется вычислить вероятностьь безотказной работы и вероятность отказа работы прибора, в состав которого входят несколько элементов и используются различные способы их соединения между собой.

Пример 1.14. Прибор состоит из двух независимо работающих элементов. Вероятность отказа первого элемента равна p ₁= 0,1, а второго – p ₂ = 0,2.

Рассмотрим событие A = {прибор откажет работать}.

1) Вычислим вероятность события A, если элементы соединены последовательно,

 

 

Решение: Обозначим через A ₁событие, которое заключается в том, что откажет элемент А ₁ = {откажет первый элемент}, и через A ₂ -

A ₂ = {откажет второй элемент}.

Тогда данный прибор не будет работать (событие А), если выйдет из строя хотя бы один из элементов (или первый, или второй, или оба не будут работать). Такое состояние прибора можно описать, используя определение суммы событий, т.е. A=A ₁ +A ₂. Из теоремы о вероятности суммы двух независимых событий [ формула (***)] получаем

p (A) = p (A ₁ +A ₂) = p (A ₁) + p (A ₂) – p (A ₁ A ₂) = p (A ₁) + p (A ₂) – p (A ₁) p (A ₂) =

= p ₁ +p ₂- p ₁ p ₂ = 0,1 +0,2 – 0,1*0,2 = 0,28.

Итак, вероятность того, что данный прибор откажет р (А) = 0,28.

Состояние прибора, когда он работает правильно, есть событие А - противоположное событию А, когда прибор откажет.

Тогда, используя свойства вероятности, можно найти вероятность правильной работы А данного прибора по формуле:

р () = 1 – р (А) = 1 – 0,28 = 0,72.

2) Вычислим вероятность отказа прибора (событие А), если элементы соединены параллельно:

Решение. Данный прибор откажет в том случае, если откажут оба элемента одновременно. Следовательно, отказ прибора в этом случае может быть представлен как произведение событий А ₁ и А ₂, т.е. A=A ₁ A ₂. Так как элементы перестают работать независимо друг от друга, то из независимости событий A ₁ и A ₂ получаем p (A) = p (A ₁) p (A ₂) = p ₁ p ₂ = 0,1 * 0,2 = 0,02.

Определение. События A ₁ A ₂ ¼ A_n называют взаимно независимыми, если для любой их части выполняется равенство

p () = p () p () ¼p (), (1.5)

1 <=i ₁ <i ₂ ¼<i_m<=n, m= 2, ¼,n.

Пример 1.15. Прибор состоит из трех последовательно соединенных и независимо работающих друг от друга элементов. Каждый из элементов может быть признан бракованным или стандартным:

 

Обозначим вероятность того, что первый элемент оказался бракованным,

равной p ₁, второй элемент бракованный - p ₂, третий элемент бракованный - p ₃.

Прибор будем считать бракованным, если хотя бы один из его элементов бракованный. Найти вероятность того, что прибор стандартный.

Решение: Обозначим события

A ₁ = {первый элемент - стандартный},

A ₂ = {второй элемент - стандартный },

A ₃ = {третий элемент - стандартный }

A = {прибор стандартный }.

В данном случае прибор нормально работает в том случае, если все три элемента одновременно работают, т.е. все три элемента, входящие в прибор, стандартные. Тогда работу прибора можно описать как событие А, состоящее из произведения трех независимых событий A=A ₁* A ₂ *A ₃, вероятность которого можно вычислить по формуле вероятности произведения независимых событий

p (A) = p (A ₁) p (A ₂) p (A ₃) =(1 – p ₁) (1- p ₂) (1 – p ₃).

Вероятность отказа прибора (событие А) в данном случае есть величина, равная вероятности события, противоположного событию А.

р (А) = 1 – р (А).

Примечание. Рассмотренные примеры 1.13, 1.14 и 1.15 являются аналогом решения контрольной задачи №3 (первого пункта задания) из методических указаний для выполнения контрольных работ.

 

Рассмотрим некоторые свойства независимых событий.

Свойство7. Если A и B независимы, то и B независимы.

Свойство 8. Если событие A не зависит от событий B ₁ и B ₂, а события B ₁ и B ₂ несовместны, тогда события A и B ₁ + B ₂ независимы.

Свойство 9. Если события A, A ₁ и A ₂ взаимно независимы, тогда события A и A ₁ + A ₂ независимы.

 

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается геометрический подход к вычислению вероятности?

2. Чему равна вероятность суммы двух противоположных событий?

3. Перечислите основные свойства вероятности события.

4. Что такое независимые события?