Свойства вероятностей событий

Свойство 1. Если для события A известна его вероятность p(A), то вероятность противоположного события можно найти по формуле

p () =1- p (A).(1.3)

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е.

p(Æ) = 0.

Свойство 3. Если справедливо соотношение A Ì B, т.е. событие A влечет событие B, то p (A) p (B).

Свойство 4 ( теорема сложения).

Для любых событий из алгебры событий A,BÎ U справедливо равенство

p (A+B) = p (A) + p (B) – p (AB), (*)

вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения данных событий.

Свойство 5. Для несовместных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей события А и события В:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (**)

Независимые события

Рассмотрим определение независимости событий, которое отражает понятие реальной независимости несвязанных событий.

Определение. События называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.

Пример 1.12. Предположим, что подбрасывают два игральных кубика независимо друг от друга. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел (n = 36):

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Рассмотрим два события.

Событие A = { число очков на первом кубике > 4 } состоит из всех пар пятой и шестой строк (m = 12) и имеет вероятность p (A) = .

Событие B = { число очков на втором кубике < 4 } состоит из всех пар первых трех столбцов (n = 18) и имеет вероятность p (B) = . Очевидно, что эти события причинно не связаны друг с другом и независимы в этом смысле.

Найдем вероятность произведени я этих событий.

Событие AB состоит из шести пар выпадающих цифр (m = 6)

{ (5,1) (5,2) (5,3) (6,1) (6,2) (6,3) }

и имеет вероятность p (AB) = . Очевидно, что выполняется равенство p (AB) = p(A) p(B). Оно отражает независимость событий A и B.

 

Определение. События A и B называются независимыми, если выполняется равенство p (AB) = p (A) p (B), (1.4)

т.е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. В противном случае события считают зависимыми.

Пример 1.13. (продолжение примера 1.12).

Рассмотрим событие C = {сумма очков равна 8}. Оно состоит из 5 пар

{(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)}

и имеет вероятность p (C) = .

Событие, которое получается как произведение события A на событие C, состоит из пар {(5,3) (6,2)} и имеет вероятность

p (AC) = .

Так как p (AC) ¹ p (A) p (C) = = , то события A и C следует считать зависимыми.

Свойство 6. Вероятность суммы двух независимы х событий А и В р авна сумме вероятностей этих событий минус произведение вероятности события А на вероятность события В, т.е.

p (A +В) = p (A) + р(В) - p (A) p (В). (***)

Примечания:

а)Формулы (*), (**), (***) позволяют вычислить вероятность суммы двух любых событий.

б) Если требуется вычислить вероятность суммы трех и более событий, то вычисление надо производить, введя замену переменных таким образом, чтобы поэтапно свести расчет к вычислению вероятности суммы двух событий.

Например, найти p (A +В +С + D) = p (R + K) = p(R)+ p(K) – p(RK),

где R=A +B, K = C + D. Тогда по формуле 1.3 находим

р(R) =p(A +B) = p(A) +P(B) – P(AB), p(K) = p(C + D) = p(C) + p(D) – p(CD), значения которых надо подставитьв исходную формулу.