Условная вероятность события

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет

на вероятность появления интересующего события.

Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p (B) > 0.

Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p (A|B). Тогда по определению

p (A | B)= . (1.7)

Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение

.

Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

При этом событию C могут соответствовать только два из них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность события C будет равна . Таким образом, информация о наступлении события A оказала влияние на вероятность события C.

Вероятность произведения событий

Теорема умножения

Вероятность произведения событий A ₁ A ₂ ¼A_n определяется формулой

p (A ₁ A ₂ ¼A_n) = p (A ₁) p (A ₂ | A ₁)) ¼p (A_n | A ₁ A ₂ ¼A_{n- 1}).(1.8)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

p (AB) = p (A |B) p { B) = p (B |A) p { A). (1.9)

Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.

Решение. Обозначим события:

A ₁ = {первое изделие бракованное},

A ₂ = {второе изделие бракованное},

A ₃ = {третье изделие бракованное},

A = {все изделия бракованные}.

Событие А есть произведение трех событий A = A ₁ A₂ A₃.

Из теоремы умножения (1.6) получим

p (A) = р( A ₁ A₂ A₃ ) =p (A ₁) p (A ₂ | A ₁)) p (A ₃ | A ₁ A ₂).

Классическое определение вероятности позволяет найти p (A ₁) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:

p (A ₁) = ;

p (A ₂) – этоотношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:

p (A ₂ | A ₁)) = ;

p (A ₃ ) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:

p (A ₃ | A ₁ A ₂) = .

Тогда вероятность события A будет равна

p(A) = = .